隐函数求导与全微分、方向导数的综合题

第 (1) 问：隐函数存在性 + 全微分#

思路分析：

• 方程确定了 $z$ 是 $x,y$ 的隐函数，但不能直接解出 $z=f(x,y)$（虽然是球面，但解出来带根号且要分上下半球）。
• 第一步：用隐函数存在定理验证”能不能求导”；
• 第二步：用公式法求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$，再拼成全微分。

详细解答：

设 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 3z$。

验证隐函数存在条件：

1. $F(x,y,z)$ 是多项式，显然在 $\mathbb{R}^3$ 上连续可微（偏导数都连续）；
2. 代入点 $(1,1,1)$：$F(1,1,1) = 1+1+1-3 = 0$ ✓；
3. 计算 $F_z = 2z - 3$，在 $(1,1,1)$ 处：$F_z(1,1,1) = 2(1)-3 = -1 \neq 0$ ✓。

结论：由隐函数存在定理，在 $(1,1,1)$ 的某邻域内唯一确定一个连续可微的函数 $z=z(x,y)$，且 $z(1,1)=1$。

求全微分：

由公式： $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{2z-3} = \frac{2x}{3-2z}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{2y}{2z-3} = \frac{2y}{3-2z}$

代入 $(x,y,z) = (1,1,1)$：

$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = \frac{2}{3-2} = 2, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} = \frac{2}{3-2} = 2$

因此全微分为： $\boxed{dz\big|_{(1,1)} = 2\,dx + 2\,dy}$

几何意义：在点 $(1,1,1)$ 附近，$z$ 对 $x$ 和 $y$ 的变化”敏感度”相同，都是每变 1 单位，$z$ 变 2 单位。

第 (2) 问：方向导数#

思路分析：

• 方向导数的本质是”偏导数在某一方向上的投影”。
• 公式：$\frac{\partial z}{\partial \vec{l}} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta$，其中 $(\cos\alpha, \cos\beta)$ 是单位方向向量。
• 必须先把 $\vec{l}=(1,2)$ 单位化！

详细解答：

方向向量 $\vec{l} = (1,2)$，其模长 $|\vec{l}| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$。

单位方向向量： $\vec{e}_l = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

即 $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \cos\beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$。

代入方向导数公式：

$\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\bigg|_{(1,1)} = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} + 2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

有理化后： $\boxed{\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\bigg|_{(1,1)} = \frac{6\sqrt{5}}{5}}$

第 (3) 问：最大方向导数与梯度#

思路分析：

• 核心定理：函数在某点的最大方向导数 = 梯度向量的模 $|\nabla z|$，且该最大值在梯度方向上取得。
• 梯度 $\nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)$ 是方向导数取得最大值的方向。

详细解答：

在点 $(1,1)$ 处，梯度为： $\nabla z(1,1) = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) = (2, 2)$

最大方向导数： $\max \frac{\partial z}{\partial \vec{l}} = |\nabla z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \boxed{2\sqrt{2}}$

对应方向为梯度方向，即向量 $(2,2)$ 的方向，单位化后为： $\vec{e}_{\max} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

即与 $x$ 轴正方向夹角 $\theta = 45^\circ$（或 $\frac{\pi}{4}$）。

验证：沿 $(1,1)$ 方向，$\cos\alpha=\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$，方向导数 $= 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$，确实等于梯度模。

第 (4) 问：复合函数 + 方向导数（链式法则升级）#

思路分析：

• $u = z \cdot e^{x+y}$，其中 $z$ 是 $x,y$ 的隐函数。
• 求 $u$ 沿 $x$ 轴正方向的方向导数，即求 $\frac{\partial u}{\partial x}$（因为 $x$ 轴正方向就是 $\vec{i}=(1,0)$，方向导数就是 $u_x$）。
• 但注意：$u$ 对 $x$ 求偏导时，$z$ 也是 $x$ 的函数，必须用乘积法则 + 链式法则。

详细解答：

沿 $x$ 轴正方向的方向导数即 $\frac{\partial u}{\partial x}$。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(z \cdot e^{x+y}\right) = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot e^{x+y} + z \cdot e^{x+y} \cdot 1$

$= e^{x+y}\left(\frac{\partial z}{\partial x} + z\right)$

代入 $(x,y,z) = (1,1,1)$，以及 $\frac{\partial z}{\partial x}=2$：

$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = e^{2}(2 + 1) = \boxed{3e^2}$