空间螺旋线

1. 求切线与法平面#

典型考法：给定圆柱螺旋线 $\vec{r}(t)=(a\cos t, a\sin t, bt)$，求某点处的切线方程和法平面方程。

解题模板：

• 切向量 $\vec{r}'(t)=(-a\sin t, a\cos t, b)$
• 切线：$\frac{x-x_0}{-a\sin t_0}=\frac{y-y_0}{a\cos t_0}=\frac{z-z_0}{b}$
• 法平面：$-a\sin t_0(x-x_0)+a\cos t_0(y-y_0)+b(z-z_0)=0$

2. 求弧长#

典型考法：求螺旋线从 $t=0$ 到 $t=2\pi$ 的弧长。

$s=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}\,\mathrm{d}t=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2+b^2}\,\mathrm{d}t=2\pi\sqrt{a^2+b^2}$

注意：弧长与参数 $t$ 成正比是圆柱螺旋线的重要性质，$s=\sqrt{a^2+b^2}\cdot t$。

3. 证明曲率和挠率为常数#

典型考法：证明圆柱螺旋线的曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 均为常数。

推导过程：

• $\vec{r}'=(-a\sin t, a\cos t, b)$
• $\vec{r}''=(-a\cos t, -a\sin t, 0)$
• $\vec{r}'''=(a\sin t, -a\cos t, 0)$

$\vec{r}'\times\vec{r}''=(ab\sin t, -ab\cos t, a^2)$ $\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|=a\sqrt{a^2+b^2}$

$\kappa=\frac{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|}{\|\vec{r}'\|^3}=\frac{a}{a^2+b^2}$

$(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''=ab\sin t\cdot a\sin t+(-ab\cos t)\cdot(-a\cos t)+a^2\cdot0=a^2b$

$\tau=\frac{(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''}{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|^2}=\frac{b}{a^2+b^2}$

结论：曲率 $\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}$，挠率 $\tau=\frac{b}{a^2+b^2}$，均为常数。

4. 第一类曲线积分（对弧长）#

典型例题：设 $L$ 为螺旋线 $x=\cos t, y=\sin t, z=t$ 从 $(1,0,0)$ 到 $(1,0,2\pi)$ 的一段，求 $\int_L (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}s$。

解法： $\mathrm{d}s=\sqrt{1+1}\,\mathrm{d}t=\sqrt{2}\,\mathrm{d}t$ $x^2+y^2+z^2=1+t^2$ $\int_0^{2\pi}(1+t^2)\sqrt{2}\,\mathrm{d}t=\sqrt{2}\left[t+\frac{t^3}{3}\right]_0^{2\pi}=\sqrt{2}\left(2\pi+\frac{8\pi^3}{3}\right)$

5. 第二类曲线积分（对坐标）#

典型例题：计算 $\int_L y\,\mathrm{d}x+z\,\mathrm{d}y+x\,\mathrm{d}z$，其中 $L$ 为螺旋线 $x=a\cos t, y=a\sin t, z=bt$ 从 $t=0$ 到 $t=2\pi$。

解法： $\int_0^{2\pi}\left[a\sin t\cdot(-a\sin t)+bt\cdot(a\cos t)+a\cos t\cdot b\right]\mathrm{d}t$ $=\int_0^{2\pi}\left(-a^2\sin^2 t+abt\cos t+ab\cos t\right)\mathrm{d}t$ $=-a^2\pi+0+0=-a^2\pi$

6. 格林公式/斯托克斯公式#

典型考法：螺旋线往往不是闭合曲线，但若与某直线段组成闭合回路，则可用斯托克斯公式转化为曲面积分。

例题框架：设 $L$ 为螺旋线从 $A(a,0,0)$ 到 $B(a,0,2\pi b)$，加上线段 $BA$ 组成闭合曲线，求 $\oint_L \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$。

7. 与柱面/旋转体结合#

典型考法：螺旋线绕 $z$ 轴旋转形成的曲面面积或体积计算。

8. 物理应用#

• 质量：$\int_L \rho(x,y,z)\,\mathrm{d}s$
• 质心/转动惯量：利用第一类曲线积分
• 变力做功：第二类曲线积分的物理意义