二重积分运算规则#

一、定义与几何意义#

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，将 $D$ 任意分割为 $n$ 个小区域 $\Delta\sigma_i$ ，任取 $(\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i$ ，若极限 $\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 存在，则称此极限为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分。

几何意义：当 $f(x,y)\ge 0$ 时，表示以 $D$ 为底、 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积。
面积元素： $d\sigma=dx\,dy$ （直角坐标）或 $r\,dr\,d\theta$ （极坐标）。

二、基本性质#

性质	表达式
线性性	$\displaystyle\iint_D [\alpha f+\beta g]\,d\sigma=\alpha\iint_D f\,d\sigma+\beta\iint_D g\,d\sigma$
区域可加性	若 $D=D_1\cup D_2$ 且 $D_1,D_2$ 无公共内点，则 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma=\iint_{D_1} f\,d\sigma+\iint_{D_2} f\,d\sigma$
保号性	若 $f(x,y)\ge 0$ ，则 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma\ge 0$
比较定理	若 $f\le g$ ，则 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma\le\iint_D g\,d\sigma$
估值定理	若 $m\le f\le M$ ，则 $m\cdot S_D\le\displaystyle\iint_D f\,d\sigma\le M\cdot S_D$
中值定理	存在 $(\xi,\eta)\in D$ ，使 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma=f(\xi,\eta)\cdot S_D$
奇偶对称	见下文第四节

三、计算方法#

1. 直角坐标系：化为累次积分#

X-型区域#

若 $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;\varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$ ，则 $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx$

Y-型区域#

若 $D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\;\psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\}$ ，则 $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx\right]dy$

要点：积分限的确定遵循”由外到内，先内后外”原则；外层常数限，内层函数限。

2. 极坐标系#

变换关系： $x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$ ，面积元素 $d\sigma=r\,dr\,d\theta$ 。

$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

适用场景：区域为圆、圆环、扇形，或被积函数含 $x^2+y^2$ 、 $y/x$ 等形式。

常见极坐标区域：

圆 $x^2+y^2\le a^2$ ： $0\le r\le a,\;0\le\theta\le 2\pi$
圆环 $a^2\le x^2+y^2\le b^2$ ： $a\le r\le b,\;0\le\theta\le 2\pi$
上半圆： $0\le\theta\le\pi$

3. 一般变量替换#

设变换 $x=x(u,v),\;y=y(u,v)$ 将 $uv$ 平面区域 $D'$ 一一映射到 $xy$ 平面区域 $D$ ，则 $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v))\cdot|J|\,du\,dv$

其中 雅可比行列式： $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt]\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$

四、对称性简化（重要技巧）#

设区域 $D$ 关于某轴或原点对称：

对称性	条件	结果
关于 $x$ 轴对称	$f(x,-y)=-f(x,y)$ （ $y$ 的奇函数）	积分 $=0$
	$f(x,-y)=f(x,y)$ （ $y$ 的偶函数）	$\displaystyle=2\iint_{D_{\text{上}}}f\,d\sigma$
关于 $y$ 轴对称	$f(-x,y)=-f(x,y)$ （ $x$ 的奇函数）	积分 $=0$
	$f(-x,y)=f(x,y)$ （ $x$ 的偶函数）	$\displaystyle=2\iint_{D_{\text{右}}}f\,d\sigma$
关于原点对称	$f(-x,-y)=-f(x,y)$	积分 $=0$
关于 $y=x$ 对称	—	$\displaystyle\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\iint_D f(y,x)\,d\sigma$