线性代数

我来帮你详细解析每一道题。先用 Python 精确计算所有结果，再给出完整的推理过程。所有计算结果已验证完毕。下面给出每道题的详细解析，每一步后面都附有小括号，说明该步的推理思路与目的。

第1题：计算下列乘积#

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ #

解：

按矩阵乘法规则，结果是一个 $3 \times 1$ 列向量，第 $i$ 行元素等于左矩阵第 $i$ 行与右列向量对应元素乘积之和。

\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \times 7 + 3 \times 2 + 1 \times 1 \\ 1 \times 7 + (-2) \times 2 + 3 \times 1 \\ 5 \times 7 + 7 \times 2 + 0 \times 1 \end{pmatrix} \quad \text{（左矩阵每行分别与右列向量做内积，得到结果向量的三个分量）}

= \begin{pmatrix} 28 + 6 + 1 \\ 7 - 4 + 3 \\ 35 + 14 + 0 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算乘积，注意第二行中间项为负数）}

= \boxed{\begin{pmatrix} 35 \\ 6 \\ 49 \end{pmatrix}} \quad \text{（合并同类项，得到最终列向量）}

(2) $(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ #

解：

这是一个 $1 \times 3$ 行向量与 $3 \times 1$ 列向量的乘积，结果是一个 $1 \times 1$ 矩阵（即一个数）。

(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \times 3 + 2 \times 2 + 3 \times 1 \quad \text{（行向量与列向量对应位置元素相乘后求和，即求内积）}

= 3 + 4 + 3 \quad \text{（逐项计算乘积）}

= \boxed{10} \quad \text{（合并得到标量结果）}

(3) $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2)$ #

解：

这是一个 $3 \times 1$ 列向量与 $1 \times 2$ 行向量的乘积，结果是一个 $3 \times 2$ 矩阵。第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于左向量第 $i$ 个元素与右向量第 $j$ 个元素的乘积。

\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2) = \begin{pmatrix} 2 \times (-1) & 2 \times 2 \\ 1 \times (-1) & 1 \times 2 \\ 3 \times (-1) & 3 \times 2 \end{pmatrix} \quad \text{（列向量的每个元素分别与行向量的每个元素相乘，填满 $3 \times 2$ 矩阵）}

= \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算乘积，注意第一列均为负数）}

= \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}} \quad \text{（整理得到最终 $3 \times 2$ 矩阵）}

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ #

解：

左矩阵为 $2 \times 4$ ，右矩阵为 $4 \times 3$ ，结果应为 $2 \times 3$ 矩阵。设结果矩阵为 $C = (c_{ij})$ ，其中 $c_{ij} = \sum_{k=1}^{4} a_{ik} b_{kj}$ 。

第一行：

$c_{11} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 4 \times 1 + 0 \times 4 = 2 + 0 + 4 + 0 = 6$ $\quad$ （第一行与第一列对应元素相乘求和，得到结果矩阵左上角元素）
$c_{12} = 2 \times 3 + 1 \times (-1) + 4 \times (-3) + 0 \times 0 = 6 - 1 - 12 + 0 = -7$ $\quad$ （第一行与第二列对应元素相乘求和，注意负数项）
$c_{13} = 2 \times 1 + 1 \times 2 + 4 \times 1 + 0 \times (-2) = 2 + 2 + 4 + 0 = 8$ $\quad$ （第一行与第三列对应元素相乘求和）

第二行：

$c_{21} = 1 \times 1 + (-1) \times 0 + 3 \times 1 + 4 \times 4 = 1 + 0 + 3 + 16 = 20$ $\quad$ （第二行与第一列对应元素相乘求和）
$c_{22} = 1 \times 3 + (-1) \times (-1) + 3 \times (-3) + 4 \times 0 = 3 + 1 - 9 + 0 = -5$ $\quad$ （第二行与第二列对应元素相乘求和，注意 $(-1) \times (-1) = 1$ ）
$c_{23} = 1 \times 1 + (-1) \times 2 + 3 \times 1 + 4 \times (-2) = 1 - 2 + 3 - 8 = -6$ $\quad$ （第二行与第三列对应元素相乘求和）

综上：

\boxed{\begin{pmatrix} 6 & -7 & 8 \\ 20 & -5 & -6 \end{pmatrix}} \quad \text{（将6个元素按位置填入 $2 \times 3$ 结果矩阵）}

(5) $(x_1, x_2, x_3) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ #

解：

先计算前两个因子的乘积（ $1 \times 3$ 矩阵乘 $3 \times 3$ 矩阵），得到一个 $1 \times 3$ 行向量：

(x_1, x_2, x_3) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \quad \text{（先处理左起前两个矩阵的乘法，降低维度复杂度）}

= \bigl( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3,\; a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3,\; a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3 \bigr) \quad \text{（行向量与矩阵相乘，每个分量是原行向量与矩阵对应列的内积）}

再将此 $1 \times 3$ 行向量与最后的 $3 \times 1$ 列向量相乘：

= \bigl( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \bigr) x_1 + \bigl( a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \bigr) x_2 + \bigl( a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3 \bigr) x_3 \quad \text{（行向量与列向量相乘，对应分量相乘后求和）}

展开并合并同类项：

= a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 \quad \text{（展开后，交叉项系数合并，例如 $a_{12}x_2x_1 + a_{12}x_1x_2 = 2a_{12}x_1x_2$）}

= \boxed{\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij} x_i x_j} \quad \text{（用双求和符号简洁表示，这是一个关于 $x_1, x_2, x_3$ 的二次型）}

第2题#

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ ，求 $3AB - 2A$ 及 $A^T B$ 。

解：

第一步：计算 $AB$

AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（先计算矩阵乘积，这是后续计算的基础）}

逐行逐列计算：

第一行： $(1,1,1)$ 与 $B$ 的各列内积
- 第一列： $1 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times 0 = 0$
- 第二列： $1 \times 2 + 1 \times (-2) + 1 \times 5 = 5$
- 第三列： $1 \times 3 + 1 \times 4 + 1 \times 1 = 8$
第二行： $(1,1,-1)$ 与 $B$ 的各列内积
- 第一列： $1 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times 0 = 0$
- 第二列： $1 \times 2 + 1 \times (-2) + (-1) \times 5 = -5$
- 第三列： $1 \times 3 + 1 \times 4 + (-1) \times 1 = 6$
第三行： $(1,-1,1)$ 与 $B$ 的各列内积
- 第一列： $1 \times 1 + (-1) \times (-1) + 1 \times 0 = 2$
- 第二列： $1 \times 2 + (-1) \times (-2) + 1 \times 5 = 9$
- 第三列： $1 \times 3 + (-1) \times 4 + 1 \times 1 = 0$

AB = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & -5 & 6 \\ 2 & 9 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（将9个内积结果按位置填入 $3 \times 3$ 矩阵）}

第二步：计算 $3AB - 2A$

3AB = 3 \begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & -5 & 6 \\ 2 & 9 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 15 & 24 \\ 0 & -15 & 18 \\ 6 & 27 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（数乘矩阵，每个元素乘以标量3）}

2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{（数乘矩阵，每个元素乘以标量2，为减法做准备）}

3AB - 2A = \begin{pmatrix} 0-2 & 15-2 & 24-2 \\ 0-2 & -15-2 & 18-(-2) \\ 6-2 & 27-(-2) & 0-2 \end{pmatrix} \quad \text{（矩阵减法，对应位置元素相减，注意负数运算）}

= \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 13 & 22 \\ -2 & -17 & 20 \\ 4 & 29 & -2 \end{pmatrix}} \quad \text{（逐项计算差值，得到最终结果）}

第三步：计算 $A^T B$

先求 $A$ 的转置：

A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（观察发现 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$，转置后行变列、列变行）}

因此：

A^T B = A B = \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & -5 & 6 \\ 2 & 9 & 0 \end{pmatrix}} \quad \text{（利用 $A^T = A$ 的结论，直接引用已计算的 $AB$ 结果）}

第3题#

已知两个线性变换：

\begin{cases} x_1 = 2y_1 + y_3 \\ x_2 = -2y_1 + 3y_2 + 2y_3 \\ x_3 = 4y_1 + y_2 + 5y_3 \end{cases} \qquad \begin{cases} y_1 = -3z_1 + z_2 \\ y_2 = 2z_1 + z_3 \\ y_3 = -z_2 + 3z_3 \end{cases}

求从 $z_1, z_2, z_3$ 到 $x_1, x_2, x_3$ 的线性变换。

解：

第一步：写出矩阵形式

将两个线性变换分别写成矩阵形式 $\mathbf{x} = A\mathbf{y}$ 和 $\mathbf{y} = B\mathbf{z}$ ：

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \quad \text{（将第一个线性变换的系数按变量顺序提取为矩阵 $A$，注意 $y_2$ 在 $x_1$ 中系数为0）}

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} \quad \text{（将第二个线性变换的系数提取为矩阵 $B$，注意 $z_3$ 在 $y_1$ 中系数为0）}

第二步：复合变换

将 $\mathbf{y} = B\mathbf{z}$ 代入 $\mathbf{x} = A\mathbf{y}$ ，得：

\mathbf{x} = A(B\mathbf{z}) = (AB)\mathbf{z} \quad \text{（利用矩阵乘法的结合律，将两个变换复合为一个从 $\mathbf{z}$ 到 $\mathbf{x}$ 的直接变换）}

计算 $AB$ ：

AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $3 \times 3$ 矩阵乘积，得到复合变换矩阵）}

逐行计算：

第一行： $(2, 0, 1)$
- 第一列： $2 \times (-3) + 0 \times 2 + 1 \times 0 = -6$
- 第二列： $2 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times (-1) = 1$
- 第三列： $2 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 3 = 3$
第二行： $(-2, 3, 2)$
- 第一列： $(-2) \times (-3) + 3 \times 2 + 2 \times 0 = 6 + 6 + 0 = 12$
- 第二列： $(-2) \times 1 + 3 \times 0 + 2 \times (-1) = -2 + 0 - 2 = -4$
- 第三列： $(-2) \times 0 + 3 \times 1 + 2 \times 3 = 0 + 3 + 6 = 9$
第三行： $(4, 1, 5)$
- 第一列： $4 \times (-3) + 1 \times 2 + 5 \times 0 = -12 + 2 + 0 = -10$
- 第二列： $4 \times 1 + 1 \times 0 + 5 \times (-1) = 4 + 0 - 5 = -1$
- 第三列： $4 \times 0 + 1 \times 1 + 5 \times 3 = 0 + 1 + 15 = 16$

AB = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 12 & -4 & 9 \\ -10 & -1 & 16 \end{pmatrix} \quad \text{（将计算结果填入复合变换矩阵）}

第三步：写出最终的线性变换

\boxed{ \begin{cases} x_1 = -6z_1 + z_2 + 3z_3 \\ x_2 = 12z_1 - 4z_2 + 9z_3 \\ x_3 = -10z_1 - z_2 + 16z_3 \end{cases} } \quad \text{（将矩阵 $AB$ 的各元素作为系数，还原为方程组形式，完成从 $\mathbf{z}$ 到 $\mathbf{x}$ 的变换）}

第4题#

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ，问：

(1) $AB = BA$ 吗？#

解：

先分别计算 $AB$ 和 $BA$ 。

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 1 \times 1 + 3 \times 1 & 1 \times 0 + 3 \times 2 \end{pmatrix} \quad \text{（按矩阵乘法规则计算 $AB$）}

= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{（计算每个内积，得到 $AB$ 的结果）}

BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 0 \times 1 & 1 \times 2 + 0 \times 3 \\ 1 \times 1 + 2 \times 1 & 1 \times 2 + 2 \times 3 \end{pmatrix} \quad \text{（交换顺序后重新计算 $BA$，注意乘法顺序不可随意交换）}

= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \quad \text{（计算每个内积，得到 $BA$ 的结果）}

比较：

AB = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} = BA \quad \text{（逐元素比较两个矩阵，发现对应位置元素不全相等）}

\boxed{\text{不成立，即 } AB \neq BA} \quad \text{（得出结论：矩阵乘法一般不满足交换律）}

(2) $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ 吗？#

解：

先计算等式左边 $(A+B)^2$ 。

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{（先计算矩阵加法，对应元素相加）}

(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{（平方即矩阵自乘，不能简单套用数的平方公式）}

= \begin{pmatrix} 2 \times 2 + 2 \times 2 & 2 \times 2 + 2 \times 5 \\ 2 \times 2 + 5 \times 2 & 2 \times 2 + 5 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 14 & 29 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算内积，得到左边结果）}

再计算等式右边 $A^2 + 2AB + B^2$ 。

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $A$ 的平方）}

B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $B$ 的平方）}

2AB = 2 \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \quad \text{（利用第(1)问已求得的 $AB$ 结果，乘以标量2）}

A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{（将三个矩阵相加，对应元素求和）}

= \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 15 & 27 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项相加，得到右边结果）}

比较：

(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 14 & 29 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 15 & 27 \end{pmatrix} = A^2 + 2AB + B^2 \quad \text{（左右两边矩阵不相等，验证失败）}

原因分析： 在数的运算中 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 成立是因为乘法可交换。但矩阵乘法不满足交换律，正确的展开应为：

(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \quad \text{（矩阵展开时，$AB$ 与 $BA$ 不能合并为 $2AB$，因为 $AB \neq BA$）}

由于 $AB \neq BA$ ，所以 $AB + BA \neq 2AB$ 。

\boxed{\text{不成立}} \quad \text{（得出结论：数的完全平方公式不能直接套用于矩阵）}

(3) $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ 吗？#

解：

先计算等式左边 $(A+B)(A-B)$ 。

A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad A - B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（先分别计算 $A+B$ 和 $A-B$，为乘法做准备）}

(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（计算两个和差矩阵的乘积）}

= \begin{pmatrix} 2 \times 0 + 2 \times 0 & 2 \times 2 + 2 \times 1 \\ 2 \times 0 + 5 \times 0 & 2 \times 2 + 5 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算内积，得到左边结果）}

再计算等式右边 $A^2 - B^2$ 。

A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{（利用前面已计算的 $A^2$ 和 $B^2$ 结果，做矩阵减法）}

= \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \quad \text{（对应元素相减，得到右边结果）}

比较：

(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = A^2 - B^2 \quad \text{（左右两边矩阵不相等，验证失败）}

原因分析： 在数的运算中 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 成立是因为 $ab = ba$ 。但矩阵乘法不满足交换律，正确的展开应为：

(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 \quad \text{（矩阵展开时，中间项 $-AB + BA$ 不一定为零，因为 $AB \neq BA$）}

由于 $AB \neq BA$ ，所以 $-AB + BA \neq O$ 。

\boxed{\text{不成立}} \quad \text{（得出结论：数的平方差公式不能直接套用于矩阵）}

第5题#

举反例说明下列命题是错误的：若 $A^2 = O$ ，则 $A = O$ 。

解：

要否定这个命题，只需找到一个非零矩阵 $A$ ，使得 $A^2$ 等于零矩阵。

考虑矩阵：

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（构造一个上三角矩阵，主对角线全为0但右上角非零，这是典型的幂零矩阵形式）}

首先验证 $A \neq O$ ：

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（检查矩阵 $A$，发现其 $(1,2)$ 位置元素为1，显然不是零矩阵）}

再计算 $A^2$ ：

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $A$ 的平方，验证是否为零矩阵）}

= \begin{pmatrix} 0 \times 0 + 1 \times 0 & 0 \times 1 + 1 \times 0 \\ 0 \times 0 + 0 \times 0 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算内积，发现所有元素均为0，即 $A^2 = O$）}

结论：

找到了矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，满足 $A \neq O$ 但 $A^2 = O$ 。

\boxed{\text{反例：} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} \quad \text{（该矩阵非零，但其平方为零矩阵，成功否定原命题）}

深层原因： 矩阵乘法中存在零因子（non-zero zero divisors），即两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵。这与数的乘法性质截然不同——在实数域中，若 $a^2 = 0$ 则必有 $a = 0$ 。

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第1题：计算下列乘积#

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ #

(2) $(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ #

(3) $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2)$ #

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ #

(5) $(x_1, x_2, x_3) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ #

第2题#

第3题#

第4题#

(1) $AB = BA$ 吗？#

(2) $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ 吗？#

(3) $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ 吗？#

第5题#

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第1题：计算下列乘积#

(1) (4311−23570)(721)\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}​415​3−27​130​​​721​​#

(2) (1,2,3)(321)(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}(1,2,3)​321​​#

(3) (213)(−1,2)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2)​213​​(−1,2)#

(4) (21401−134)(1310−121−3140−2)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}(21​1−1​43​04​)​1014​3−1−30​121−2​​#

第2题#

第3题#

第4题#

(1) AB=BAAB = BAAB=BA 吗？#

(2) (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2(A+B)2=A2+2AB+B2 吗？#

(3) (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2(A+B)(A−B)=A2−B2 吗？#

第5题#

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(1) $\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ #

(2) $(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ #

(3) $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2)$ #

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ #

(1) $AB = BA$ 吗？#

(2) $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ 吗？#

(3) $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ 吗？#