习题与解析

3.1 母线平行于 $x$ 轴的柱面#

核心：柱面方程缺 $x$，即消去 $x$

步骤：

从第二个方程：$x^2 = y^2 - z^2$

代入第一个方程： $2(y^2-z^2) + y^2 + z^2 = 16$ $2y^2 - 2z^2 + y^2 + z^2 = 16$ $3y^2 - z^2 = 16$

$\boxed{3y^2 - z^2 = 16}$

验证：方程缺 $x$，母线平行 $x$ 轴 ✓

这是双曲柱面，准线为 $yOz$ 面上的双曲线。

3.2 母线平行于 $y$ 轴的柱面#

核心：柱面方程缺 $y$，即消去 $y$

步骤：

从第二个方程：$y^2 = x^2 + z^2$

代入第一个方程： $2x^2 + (x^2+z^2) + z^2 = 16$ $3x^2 + 2z^2 = 16$

$\boxed{3x^2 + 2z^2 = 16}$

或写成： $\frac{x^2}{\frac{16}{3}} + \frac{z^2}{8} = 1$

验证：方程缺 $y$，母线平行 $y$ 轴 ✓

这是椭圆柱面，准线为 $xOz$ 面上的椭圆。

分析#

投影到 $xOy$ 面 = 求投影柱面（消去 $z$）+ 联立 $z=0$

步骤#

第一步：消去 $z$，求投影柱面

从平面方程：$z = 1-x$

代入球面方程： $x^2 + y^2 + (1-x)^2 = 9$ $x^2 + y^2 + 1 - 2x + x^2 = 9$ $2x^2 - 2x + y^2 = 8$

配方： $2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + y^2 = 8$ $2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{17}{2}$

或保留： $\boxed{2x^2 + y^2 - 2x = 8}$

这是椭圆柱面（母线平行 $z$ 轴）

第二步：投影曲线方程

$\boxed{\begin{cases} 2x^2 + y^2 - 2x = 8 \\ z = 0 \end{cases}}$

或写成标准形式： $\begin{cases} \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{17}{4}} + \frac{y^2}{\frac{17}{2}} = 1 \\ z = 0 \end{cases}$

这是 $xOy$ 面上的椭圆。

5.1 第(1)小题#

题目：$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=9 \\ y=x \end{cases}$

分析：这是球面与平面的交线（圆），用 $y=x$ 消元

步骤：

将 $y=x$ 代入球面： $x^2 + x^2 + z^2 = 9$ $2x^2 + z^2 = 9$

令 $x = \frac{3}{\sqrt{2}}\cos\theta = \frac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta$

则 $z^2 = 9 - 2\cdot\frac{9}{2}\cos^2\theta = 9(1-\cos^2\theta) = 9\sin^2\theta$

所以 $z = 3\sin\theta$（或 $-3\sin\theta$，取一支）

参数方程： $\boxed{\begin{cases} x = \frac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta \\ y = \frac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta \\ z = 3\sin\theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta \leq 2\pi)}$

5.2 第(2)小题#

题目：$\begin{cases} (x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4 \\ z=0 \end{cases}$

分析：将 $z=0$ 代入球面方程，得到 $xOy$ 面上的圆

步骤：

代入 $z=0$： $(x-1)^2 + y^2 + 1 = 4$ $(x-1)^2 + y^2 = 3$

这是圆心 $(1, 0)$，半径 $\sqrt{3}$ 的圆。

参数方程： $\boxed{\begin{cases} x = 1 + \sqrt{3}\cos\theta \\ y = \sqrt{3}\sin\theta \\ z = 0 \end{cases} \quad (0 \leq \theta \leq 2\pi)}$

6.1 在 $xOy$ 面上的投影#

方法：消去 $z$（即消去 $\theta$ 中的 $z$ 关系）

由 $x=a\cos\theta, y=a\sin\theta$： $x^2 + y^2 = a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2$

且 $z=0$

$\boxed{\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ z = 0 \end{cases}}$

几何意义：圆，螺旋线在水平面上的”影子”是圆。

6.2 在 $yOz$ 面上的投影#

方法：消去 $x$

由 $y = a\sin\theta$，得 $\sin\theta = \frac{y}{a}$，所以 $\theta = \arcsin\frac{y}{a}$

则 $z = b\theta = b\arcsin\frac{y}{a}$

即： $\boxed{x=0, \quad z = b\arcsin\frac{y}{a}}$

或写成： $\sin\frac{z}{b} = \frac{y}{a}, \quad x=0$

即 $y = a\sin\frac{z}{b}$，$x=0$

这是正弦曲线！

6.3 在 $xOz$ 面上的投影#

方法：消去 $y$

由 $x = a\cos\theta$，得 $\theta = \arccos\frac{x}{a}$

则 $z = b\arccos\frac{x}{a}$

$\boxed{y=0, \quad z = b\arccos\frac{x}{a}}$

或写成： $x = a\cos\frac{z}{b}, \quad y=0$

这也是余弦曲线！

螺旋线投影总结#

7.1 在 $xOy$ 面上的投影#

分析：两曲面交线在 $xOy$ 面上的投影 = 投影柱面与 $z=0$ 的交线

关键：上半球与圆柱体的公共部分在 $xOy$ 上的投影，就是圆柱体在 $xOy$ 上的截面

圆柱 $x^2+y^2 \leq ax$ 配方： $\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 \leq \frac{a^2}{4}$

这是圆心 $\left(\frac{a}{2}, 0\right)$，半径 $\frac{a}{2}$ 的圆盘。

$\boxed{\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 \leq \frac{a^2}{4}, \quad z=0}$

或写成： $x^2 + y^2 \leq ax, \quad z=0$

7.2 在 $xOz$ 面上的投影#

分析：需要消去 $y$

步骤：

边界曲线由两曲面交线确定：

• 球面：$x^2+y^2+z^2=a^2$（取 $z\geq 0$）
• 圆柱：$x^2+y^2=ax$

消去 $y$：从圆柱 $y^2 = ax - x^2$（需 $ax-x^2 \geq 0$，即 $0 \leq x \leq a$）

代入球面： $ax + z^2 = a^2$ $z^2 = a^2 - ax = a(a-x)$

所以 $z = \sqrt{a(a-x)}$（上半球 $z \geq 0$）

$x$ 的范围：由 $y^2 = ax-x^2 \geq 0$，得 $0 \leq x \leq a$

投影区域： $\boxed{0 \leq x \leq a, \quad 0 \leq z \leq \sqrt{a(a-x)}, \quad y=0}$

或写成： $\begin{cases} z^2 \leq a(a-x) \\ 0 \leq x \leq a \\ z \geq 0 \\ y = 0 \end{cases}$

这是 $xOz$ 面上的抛物线区域（由抛物线 $z^2 = a(a-x)$ 围成）

8.1 在 $xOy$ 面上的投影#

分析：抛物面向下投影，边界为 $z=4$ 时的圆

$z=4$ 时：$x^2+y^2=4$

投影区域为圆盘： $\boxed{x^2+y^2 \leq 4, \quad z=0}$

8.2 在 $yOz$ 面上的投影#

分析：消去 $x$

由 $z = x^2+y^2 \geq y^2$，即 $z \geq y^2$

又 $0 \leq z \leq 4$

对于固定的 $y$，$x$ 的范围：$x^2 = z-y^2 \geq 0$，需 $z \geq y^2$

$y$ 的范围：由 $y^2 \leq z \leq 4$，最大时 $y^2 \leq 4$，即 $-2 \leq y \leq 2$

$\boxed{y^2 \leq z \leq 4, \quad x=0}$

这是 $yOz$ 面上由抛物线 $z=y^2$ 和直线 $z=4$ 围成的区域。

8.3 在 $xOz$ 面上的投影#

由对称性（$x$ 和 $y$ 对称）：

$\boxed{x^2 \leq z \leq 4, \quad y=0}$