旋转曲面、二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面）的表达式

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旋转曲面、二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面）的表达式

2026-05-23

空间解析几何

向量

习题解析

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曲面的切平面与法线、曲线的切线与法平面怎么求

我来系统整理旋转曲面和二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面）的标准表达式。

一、旋转曲面（Surface of Revolution）#

核心定义#

一条平面曲线绕其平面上一条定直线（旋转轴）旋转一周所形成的曲面。

1.1 基本公式#

设 $yOz$ 面上的曲线 $C: f(y,z) = 0$ ，绕 $z$ 轴 旋转：

$\boxed{f\left(\pm\sqrt{x^2+y^2},\ z\right) = 0}$

记忆口诀：绕谁转，谁不变，另一个变量换成 $\sqrt{\text{两变量平方和}}$

1.2 常见旋转曲面#

母线（在 $yOz$ 面）	旋转轴	旋转曲面方程	名称
$y^2 = 2pz$ （抛物线）	$z$ 轴	$x^2+y^2 = 2pz$	旋转抛物面
$\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1$ （椭圆）	$z$ 轴	$\frac{x^2+y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1$	旋转椭球面（ $a=b$ 时为球面）
$\frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1$ （双曲线）	$z$ 轴	$\frac{x^2+y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1$	旋转单叶双曲面
$\frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1$ （双曲线）	$y$ 轴	$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2+z^2}{b^2} = 1$	旋转双叶双曲面
$y = ky$ 即 $z = \pm y\cot\alpha$ （直线）	$z$ 轴	$z^2 = a^2(x^2+y^2)$	圆锥面

1.3 教材典型例题#

例： $xOz$ 面上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

绕 $z$ 轴旋转（教材图8-40）： $\boxed{\frac{x^2+y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1} \quad \text{（旋转单叶双曲面）}$
绕 $x$ 轴旋转（教材图8-41）： $\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2+z^2}{c^2} = 1} \quad \text{（旋转双叶双曲面）}$

二、二次曲面（Quadric Surfaces）#

三元二次方程 $Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0$ 所表示的曲面。

适当选取坐标系，可化为标准方程。

2.1 椭球面（Ellipsoid）#

$\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a,b,c > 0)}$

特征：

$a=b=c$ ：球面
$a=b \neq c$ ：旋转椭球面（绕 $z$ 轴）
$a,b,c$ 各不相同：一般椭球面

图形：封闭的橄榄球形

截痕法：

平面	截痕
$z = k$ （ $\\|k\\| < c$ ）	椭圆 $\frac{x^2}{a^2(1-\frac{k^2}{c^2})} + \frac{y^2}{b^2(1-\frac{k^2}{c^2})} = 1$
$z = 0$	椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$z = \pm c$	点 $(0,0,\pm c)$

2.2 抛物面（Paraboloid）#

（1）椭圆抛物面（Elliptic Paraboloid）#

$\boxed{z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}}$

特征：

$a = b$ ：旋转抛物面 $z = \frac{x^2+y^2}{a^2}$
开口向 $z$ 轴正方向
顶点在原点

图形：碗形（开口向上）

截痕法：

平面	截痕
$z = k > 0$	椭圆 $\frac{x^2}{a^2k} + \frac{y^2}{b^2k} = 1$
$z = 0$	点 $(0,0,0)$ （顶点）
$x = 0$	抛物线 $z = \frac{y^2}{b^2}$
$y = 0$	抛物线 $z = \frac{x^2}{a^2}$

（2）双曲抛物面（Hyperbolic Paraboloid）— 马鞍面#

$\boxed{z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}$

特征：

不是旋转曲面
形状像马鞍
也称鞍形曲面

截痕法：

平面	截痕
$z = k \neq 0$	双曲线
$z = 0$	两相交直线 $\frac{x}{a} = \pm\frac{y}{b}$
$x = 0$	抛物线 $z = -\frac{y^2}{b^2}$ （开口向下）
$y = 0$	抛物线 $z = \frac{x^2}{a^2}$ （开口向上）

2.3 双曲面（Hyperboloid）#

（1）单叶双曲面（Hyperboloid of One Sheet）#

$\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1}$

特征：

$a = b$ ：旋转单叶双曲面
中间细，两头粗
连通的（单叶）

图形：像腰鼓、冷却塔形状

截痕法：

平面	截痕
$z = k$	椭圆（越来越大）
$z = 0$	椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$x = 0$	双曲线 $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
$y = 0$	双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

重要性质：过中心的有两族直母线（可由直线构成！）

（2）双叶双曲面（Hyperboloid of Two Sheets）#

$\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1}$

或写成： $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

特征：

$a = b$ ：旋转双叶双曲面
中间断开，分成上下两片
不连通（双叶）

图形：像两个碗，上下分开

截痕法：

平面	截痕
$z = k$ （ $\\|k\\| > c$ ）	椭圆
$z = \pm c$	点 $(0,0,\pm c)$
$\\|z\\| < c$	无实轨迹（空白）
$x = 0$	双曲线 $\frac{z^2}{c^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

三、九种二次曲面标准方程汇总（教材第十二章内容）#

编号	名称	标准方程	图形特征
1	椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	封闭，橄榄形
2	单叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	连通，腰鼓形
3	双叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$	两片，碗形
4	椭圆抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	碗形，开口向上
5	双曲抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	马鞍形
6	二次锥面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	锥形，过原点
7	椭圆柱面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	柱面，缺 $z$
8	双曲柱面	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	柱面，缺 $z$
9	抛物柱面	$y^2=2px$	柱面，缺 $z$

四、快速识别与记忆技巧#

4.1 看右边常数项#

方程形式	曲面类型
$= 1$ （三项正）	椭球面
$= 1$ （两正一负）	单叶双曲面
$= -1$ 或 $=1$ （一正两负）	双叶双曲面
$= 0$	锥面
$= z$ （一次项）	抛物面

4.2 看左边平方项系数符号#

符号特征	曲面
全正	椭球面
两正一负	单叶双曲面
一正两负	双叶双曲面
一正一负（无第三项）	双曲抛物面或双曲柱面

五、旋转曲面与二次曲面的关系#

二次曲面	是否为旋转曲面	旋转轴	母线
球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$	✓	任意过球心的轴	半圆
旋转椭球面 $\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	✓	$z$ 轴	椭圆
一般椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ （ $a\neq b\neq c$ ）	✗	—	—
旋转抛物面 $z=\frac{x^2+y^2}{a^2}$	✓	$z$ 轴	抛物线
双曲抛物面 $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	✗	—	—
旋转单叶双曲面	✓	$z$ 轴	双曲线
旋转双叶双曲面	✓	$x$ 轴	双曲线