曲面的切平面与法线、曲线的切线与法平面怎么求

1.1 参数方程给出的曲线#

设曲线 $\Gamma$ 的参数方程为： $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$

切向量（方向向量）： $\boxed{\vec{T} = (x'(t_0),\ y'(t_0),\ z'(t_0))}$

1.2 两曲面交线给出的曲线#

设曲线 $\Gamma: \begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases}$

切向量： $\boxed{\vec{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}}$

即两曲面在交点处法向量的向量积（叉乘）。

1.3 典型例题#

例题：求曲线 $\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \\ z = t^3 \end{cases}$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线与法平面。

解：

• 点 $(1,1,1)$ 对应 $t=1$
• 切向量：$\vec{T} = (1,\ 2t,\ 3t^2)\big|_{t=1} = (1, 2, 3)$

切线： $\boxed{\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}}$

法平面： $1\cdot(x-1) + 2\cdot(y-1) + 3\cdot(z-1) = 0$ $\boxed{x + 2y + 3z = 6}$

2.1 隐式方程给出的曲面#

设曲面 $\Sigma: F(x,y,z) = 0$

法向量： $\boxed{\vec{n} = \nabla F = (F_x,\ F_y,\ F_z)}$

在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处。

2.2 显式方程给出的曲面#

设曲面 $z = f(x,y)$，改写为 $F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$

法向量： $\boxed{\vec{n} = (f_x,\ f_y,\ -1)}$

或取 向上 的法向量：$(-f_x,\ -f_y,\ 1)$

2.3 典型例题#

例题：求椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面与法线。

解： 设 $F = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0$

偏导数： $F_x = \frac{2x}{a^2},\quad F_y = \frac{2y}{b^2},\quad F_z = \frac{2z}{c^2}$

在 $M_0$ 处： $\vec{n} = \left(\frac{2x_0}{a^2},\ \frac{2y_0}{b^2},\ \frac{2z_0}{c^2}\right)$

切平面： $\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y-y_0) + \frac{2z_0}{c^2}(z-z_0) = 0$

利用 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$ 化简：

$\boxed{\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1}$

法线： $\boxed{\frac{a^2(x-x_0)}{x_0} = \frac{b^2(y-y_0)}{y_0} = \frac{c^2(z-z_0)}{z_0}}$

例题：求两曲面交线的切线#

题目：求曲线 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0 \end{cases}$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线与法平面。

解：

第一步：验证点在曲线上

• $1+4+1=6$ ✓
• $1-2+1=0$ ✓

第二步：求两曲面的法向量

设 $F = x^2+y^2+z^2-6=0$，$G = x+y+z=0$

$\nabla F = (2x,\ 2y,\ 2z),\quad \nabla G = (1,\ 1,\ 1)$

在 $(1,-2,1)$ 处： $\nabla F = (2,\ -4,\ 2),\quad \nabla G = (1,\ 1,\ 1)$

第三步：求切向量

$\vec{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

计算：

• $i$ 分量：$(-4)\cdot 1 - 2\cdot 1 = -6$
• $j$ 分量：$-(2\cdot 1 - 2\cdot 1) = 0$
• $k$ 分量：$2\cdot 1 - (-4)\cdot 1 = 6$

$\vec{T} = (-6,\ 0,\ 6) \parallel (-1,\ 0,\ 1)$

第四步：写方程

切线： $\boxed{\frac{x-1}{-1} = \frac{y+2}{0} = \frac{z-1}{1}}$

（注意：$y+2=0$ 即 $y=-2$）

法平面： $-1\cdot(x-1) + 0\cdot(y+2) + 1\cdot(z-1) = 0$ $-x+1+z-1=0$ $\boxed{x - z = 0}$