一、选择题（每小题3分，共30分）#

1. 一质点沿半径 $R=2\,\text{m}$ 的圆周运动，速率 $v=3t^2$（SI单位）。$t=1\,\text{s}$ 时，其切向加速度大小为（　　）

A. $3\,\text{m/s}^2$　　B. $4.5\,\text{m/s}^2$　　C. $6\,\text{m/s}^2$　　D. $7.5\,\text{m/s}^2$

【解析】 切向加速度定义为速率对时间的导数：$a_\tau = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d}{dt}(3t^2) = 6t$。当 $t=1\,\text{s}$ 时，$a_\tau = 6\times 1 = 6\,\text{m/s}^2$。注意区分切向加速度 $a_\tau$（改变速度大小）和法向加速度 $a_n = v^2/R$（改变速度方向）。本题选 C。

2. 在光滑水平面上，质量为 $m_1=3\,\text{kg}$ 的物体以 $v_1=4\,\text{m/s}$ 运动，与静止的质量 $m_2=1\,\text{kg}$ 的物体发生完全非弹性碰撞。碰撞后两物体的共同速度为（　　）

A. $3\,\text{m/s}$　　B. $3.5\,\text{m/s}$　　C. $4\,\text{m/s}$　　D. $1\,\text{m/s}$

【解析】 水平面光滑，系统水平方向不受外力，动量守恒。完全非弹性碰撞后两物体粘在一起共速。由动量守恒：$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$。代入数据：$3\times 4 + 1\times 0 = (3+1)v$，得 $v = 12/4 = 3\,\text{m/s}$。本题选 A。

3. 一质量为 $m$、半径为 $R$ 的匀质圆盘绕通过中心且垂直于盘面的固定轴转动，其转动惯量为（　　）

A. $\dfrac{1}{2}mR^2$　　B. $mR^2$　　C. $\dfrac{1}{3}mR^2$　　D. $\dfrac{2}{5}mR^2$

【解析】 常见匀质刚体的转动惯量必须熟记。匀质圆盘（或圆柱）绕通过中心且垂直于盘面的轴转动时，转动惯量 $J = \dfrac{1}{2}mR^2$。圆环绕中心垂直轴为 $mR^2$，细杆绕中心垂直轴为 $\dfrac{1}{12}ml^2$，实心球绕直径为 $\dfrac{2}{5}mR^2$。本题选 A。

4. 理想气体处于平衡态时，温度 $T$ 与分子平均平动动能 $\bar{\varepsilon}_k$ 的关系为（　　）

A. $\bar{\varepsilon}_k = kT$　　B. $\bar{\varepsilon}_k = \dfrac{3}{2}kT$　　C. $\bar{\varepsilon}_k = \dfrac{5}{2}kT$　　D. $\bar{\varepsilon}_k = \dfrac{i}{2}kT$

【解析】 由理想气体压强公式和状态方程联立推导可得 $\bar{\varepsilon}_k = \dfrac{3}{2}kT$，这是温度的微观本质：温度是分子平均平动动能的量度。注意只有平动动能与温度直接相关，$\dfrac{3}{2}$ 来自三个平动自由度。$\dfrac{i}{2}kT$ 是分子的平均总能量（含转动）。本题选 B。

5. 1 mol 刚性双原子理想气体在等压过程中温度升高 $\Delta T$，其吸收的热量为（　　）

A. $\dfrac{3}{2}R\Delta T$　　B. $\dfrac{5}{2}R\Delta T$　　C. $\dfrac{7}{2}R\Delta T$　　D. $R\Delta T$

【解析】 等压过程吸热量 $Q = \nu C_p \Delta T$。刚性双原子分子自由度 $i=5$，$C_V = \dfrac{5}{2}R$，由迈耶公式 $C_p = C_V + R = \dfrac{7}{2}R$。因此 $Q = 1\times \dfrac{7}{2}R\Delta T = \dfrac{7}{2}R\Delta T$。等容过程吸热才是 $\dfrac{5}{2}R\Delta T$。本题选 C。

6. 一水平弹簧振子做简谐振动，劲度系数 $k=25\,\text{N/m}$，质量 $m=1\,\text{kg}$，振幅 $A=0.1\,\text{m}$。当位移 $x=0.05\,\text{m}$ 时，其动能为（　　）

A. $0.03125\,\text{J}$　　B. $0.0625\,\text{J}$　　C. $0.09375\,\text{J}$　　D. $0.125\,\text{J}$

【解析】 简谐振动总能量 $E = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}\times 25\times 0.1^2 = 0.125\,\text{J}$。势能 $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}\times 25\times 0.05^2 = 0.03125\,\text{J}$。由能量守恒 $E_k = E - E_p = 0.125 - 0.03125 = 0.09375\,\text{J}$。本题选 C。

7. 一平面简谐波沿 $x$ 轴正方向传播，波速 $u=2\,\text{m/s}$，原点振动方程为 $y=0.05\cos(4\pi t + \pi/3)$（SI）。则该波的波长为（　　）

A. $0.5\,\text{m}$　　B. $1\,\text{m}$　　C. $2\,\text{m}$　　D. $4\,\text{m}$

【解析】 由原点振动方程知角频率 $\omega = 4\pi\,\text{rad/s}$，周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4\pi} = 0.5\,\text{s}$。波速 $u = \lambda/T$，故 $\lambda = uT = 2\times 0.5 = 1\,\text{m}$。也可直接由 $\omega = 2\pi\nu$ 和 $u = \lambda\nu$ 联立得 $\lambda = \dfrac{2\pi u}{\omega} = \dfrac{2\pi\times 2}{4\pi} = 1\,\text{m}$。本题选 B。

8. 一火箭的固有长度为 $100\,\text{m}$，以 $v=0.6c$ 相对地面飞行。地面观察者测得火箭长度为（　　）

A. $60\,\text{m}$　　B. $80\,\text{m}$　　C. $100\,\text{m}$　　D. $125\,\text{m}$

【解析】 由长度收缩公式 $L = L_0\sqrt{1-v^2/c^2} = L_0/\gamma$。先算洛伦兹因子：$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-0.6^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.64}} = 1.25$。因此 $L = 100/1.25 = 80\,\text{m}$。长度收缩只发生在运动方向上，固有长度是最长的长度。本题选 B。

9. 关于热力学第二定律，下列说法正确的是（　　）

A. 热量可以从低温物体自动传到高温物体而不产生其他影响
B. 从单一热源吸热可以完全变为有用功而不产生其他影响
C. 一切宏观热力学过程都是不可逆的
D. 理想气体自由膨胀过程是可逆过程

【解析】 热力学第二定律揭示了自然过程的不可逆性。开尔文表述：不可能从单一热源吸热使之完全变为有用功而不产生其他影响。克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。因此A、B均错误。理想气体自由膨胀是不可逆过程（D错误）。一切实际的宏观热力学过程都是不可逆的（C正确）。本题选 C。

10. 两相干波源 $S_1$、$S_2$ 相距 $3\,\text{m}$，振动频率均为 $100\,\text{Hz}$，波速 $400\,\text{m/s}$，相位相同。在 $S_1S_2$ 连线上因干涉而静止的点位于（　　）

A. $x=0.5\,\text{m}$ 和 $x=2.5\,\text{m}$
B. $x=1\,\text{m}$ 和 $x=2\,\text{m}$
C. $x=0.5\,\text{m}$ 和 $x=1.5\,\text{m}$
D. $x=1\,\text{m}$ 和 $x=2.5\,\text{m}$

【解析】 波长 $\lambda = u/\nu = 400/100 = 4\,\text{m}$。在 $S_1S_2$ 连线上，设 $S_1$ 在原点，$S_2$ 在 $x=3$ 处。两波源之间任一点 $P$（$0\le x\le 3$）到两波源距离分别为 $r_1=x$，$r_2=3-x$，波程差 $\delta = |r_2-r_1| = |3-2x|$。干涉减弱（静止）条件：$\delta = (2k+1)\lambda/2 = (2k+1)\times 2$。

• $k=0$：$|3-2x|=2$ $\Rightarrow$ $3-2x=2$ 或 $3-2x=-2$，得 $x=0.5$ 或 $x=2.5$，均在 $[0,3]$ 范围内。
• $k=1$：$|3-2x|=6$，超出范围。 故静止点为 $x=0.5\,\text{m}$ 和 $x=2.5\,\text{m}$。本题选 A。

二、填空题（每小题3分，共18分）#

11. 一辆汽车以 $v_0=20\,\text{m/s}$ 的速度行驶，以 $a=-5\,\text{m/s}^2$ 刹车。汽车在刹车后第 $6\,\text{s}$ 内的位移为 ________。

【解析】 先求停止时间：由 $v = v_0 + at = 0$ 得 $t_0 = 20/5 = 4\,\text{s}$。汽车在 $4\,\text{s}$ 时已停止，之后保持静止。因此”第 $6\,\text{s}$ 内”（即 $t=5\,\text{s}$ 到 $t=6\,\text{s}$）汽车已经停止，位移为 0。

易错警示：若直接代入 $t=6$ 计算位移会得到错误结果。刹车问题必须先判断停止时间。

12. 质量为 $m$ 的物体从倾角 $\theta$ 的光滑斜面顶端静止下滑，斜面长 $L$，到达底端时的速度大小为 ________。

【解析】 受力分析：重力沿斜面分量为 $mg\sin\theta$，垂直斜面分量为 $mg\cos\theta$，支持力 $N=mg\cos\theta$。沿斜面方向由牛顿第二定律：$mg\sin\theta = ma$，得 $a = g\sin\theta$。再由运动学公式 $v^2 = v_0^2 + 2aL = 0 + 2gL\sin\theta$，故速度为 $\sqrt{2gL\sin\theta}$。

也可由机械能守恒：$mgL\sin\theta = \dfrac{1}{2}mv^2$，直接得 $v = \sqrt{2gL\sin\theta}$。

13. 一质量为 $m$、长为 $l$ 的匀质细杆绕其一端在竖直平面内自由转动，从水平位置静止释放，摆到竖直位置时杆的角速度为 ________。

【解析】 只有重力做功，轴处约束力不做功，机械能守恒。以竖直位置质心所在平面为势能零点（或直接算势能变化）。杆从水平到竖直，质心下降高度 $\Delta h = l/2$。转动惯量 $J = \dfrac{1}{3}ml^2$（绕端点）。由 $mg\cdot \dfrac{l}{2} = \dfrac{1}{2}J\omega^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}ml^2\cdot \omega^2$，化简得 $\omega = \sqrt{\dfrac{3g}{l}}$。答案为 $\sqrt{3g/l}$。

14. 2 mol 刚性双原子分子理想气体，温度从 $300\,\text{K}$ 升至 $400\,\text{K}$，其内能增量为 ________ J。

【解析】 理想气体内能 $E = \dfrac{i}{2}\nu RT$，刚性双原子 $i=5$，$\nu=2\,\text{mol}$。$\Delta E = \dfrac{i}{2}\nu R\Delta T = \dfrac{5}{2}\times 2\times 8.314\times (400-300) = 5\times 8.314\times 100 = 4157\,\text{J}$。答案为 4157（或 $4157\,\text{J}$，约 $4.16\times 10^3\,\text{J}$）。

15. 一平面简谐波沿 $x$ 轴正方向传播，原点处质点的振动方程为 $y = 0.02\cos(2\pi t + \pi/4)$（SI），波速 $u = 4\,\text{m/s}$。则该波的波动表达式为 $y =$ ________（SI）。

【解析】 沿 $x$ 轴正方向传播的平面简谐波波动表达式为 $y = A\cos[\omega(t - x/u) + \varphi_0]$。代入 $A=0.02$，$\omega=2\pi$，$u=4$，$\varphi_0=\pi/4$，得 $y = 0.02\cos[2\pi(t - x/4) + \pi/4]$（m）。也可写成 $y = 0.02\cos(2\pi t - \dfrac{\pi}{2}x + \pi/4)$（m）。答案为 $0.02\cos[2\pi(t - x/4) + \pi/4]$（SI）。

16. $\mu$ 子静止平均寿命为 $\tau_0 = 2.2\,\mu\text{s}$，若以 $v = 0.998c$ 运动，地面观察者测得它的寿命约为 ________ $\mu\text{s}$。（已知 $\gamma \approx 15.8$）

【解析】 由时间膨胀公式 $\tau = \gamma \tau_0 = 15.8\times 2.2 = 34.76\approx 34.8\,\mu\text{s}$。运动的钟变慢，地面观察者测得运动的 $\mu$ 子寿命显著延长。答案为 34.8（或约 35）。

三、计算题（共52分）#

17.（10分） 河宽 $d = 500\,\text{m}$，水流速度 $u = 3\,\text{m/s}$（沿河岸方向）。船在静水中的速度 $v' = 4\,\text{m/s}$。求： (1) 船要以最短时间渡河，船头应指向何方？最短时间是多少？ (2) 船要以最短位移渡河，船头应指向何方？此时的渡河时间是多少？

【解析】

设河岸为 $S$ 系，由伽利略速度变换：$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$，其中 $\vec{v}$ 为船对地速度，$\vec{v}'$ 为船对水速度，$\vec{u}$ 为水对地速度。

(1) 最短时间渡河

渡河时间由垂直河岸方向的分速度决定。要使时间最短，需使垂直河岸的分速度最大。由于 $v'$ 大小固定，当船头垂直指向河岸时，垂直分速度最大为 $v'$。

$t_{\min} = \dfrac{d}{v'} = \dfrac{500}{4} = 125\,\text{s}$

此时船头应 垂直指向对岸（与河岸成 $90°$）。

(2) 最短位移渡河

最短位移为河宽 $d = 500\,\text{m}$，要求合速度 $\vec{v}$ 垂直河岸。由 $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$，要使 $\vec{v}$ 垂直河岸，需 $\vec{v}'$ 的水平分量（沿河岸向上游方向）抵消 $\vec{u}$。

设船头偏向上游，与垂直河岸方向夹角为 $\alpha$： $v'\sin\alpha = u \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{u}{v'} = \dfrac{3}{4} = 0.75$ $\alpha = \arcsin(0.75) \approx 48.6°$

即船头应偏向上游，与垂直河岸方向成约 $48.6°$（或与下游河岸夹角约 $41.4°$）。

此时垂直河岸的实际速度：$v = v'\cos\alpha = 4\times\sqrt{1-0.75^2} = 4\times\dfrac{\sqrt{7}}{4} = \sqrt{7} \approx 2.65\,\text{m/s}$

渡河时间：$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{500}{\sqrt{7}} \approx 189\,\text{s}$

对比：最短位移渡河（$189\,\text{s}$）比最短时间渡河（$125\,\text{s}$）耗时更长，体现了”路程短”与”时间短”之间的权衡。

18.（10分） 质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体以 $v_0 = 10\,\text{m/s}$ 在粗糙水平面上滑行，摩擦系数 $\mu = 0.2$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。求： (1) 物体滑行的距离； (2) 若物体撞上一静止的轻弹簧（劲度系数 $k = 200\,\text{N/m}$），求弹簧的最大压缩量。

【解析】

(1) 滑行距离

由动能定理：摩擦力做的功等于动能变化。摩擦力 $f = \mu N = \mu mg = 0.2\times 2\times 10 = 4\,\text{N}$。 $W_f = -f\cdot s = -\mu mgs = 0 - \dfrac{1}{2}mv_0^2$ $s = \dfrac{v_0^2}{2\mu g} = \dfrac{100}{2\times 0.2\times 10} = \dfrac{100}{4} = 25\,\text{m}$

结果与质量无关，是此类问题的有趣结论。

(2) 弹簧最大压缩量

物体从初速度 $v_0$ 开始，克服摩擦力做功，同时压缩弹簧。设最大压缩量为 $x$，此时物体速度为零。由动能定理： $-\mu mgx - \dfrac{1}{2}kx^2 = 0 - \dfrac{1}{2}mv_0^2$ $\dfrac{1}{2}kx^2 + \mu mgx - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = 0$

代入数值：$100x^2 + 4x - 100 = 0$，即 $25x^2 + x - 25 = 0$

由求根公式：$x = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + 2500}}{50} = \dfrac{-1 + \sqrt{2501}}{50} \approx \dfrac{-1 + 50.01}{50} \approx 0.98\,\text{m}$

弹簧最大压缩量约为 $0.98\,\text{m}$（或精确解 $x = \dfrac{-1 + \sqrt{2501}}{50}\,\text{m}$）。

19.（10分） 一质量为 $m$、半径为 $R$ 的匀质圆柱体，从倾角为 $\theta$ 的斜面上由静止开始无滑动地滚下。求： (1) 质心加速度 $a_c$； (2) 静摩擦力 $f$ 的大小。

【解析】

圆柱做平面运动 = 质心平动 + 绕质心转动。

受力分析：重力 $mg$（竖直向下）、支持力 $N$（垂直斜面向上）、静摩擦力 $f$（沿斜面向上，提供转动所需力矩）。

列方程：

(1) 质心平动（沿斜面向下为正）： $mg\sin\theta - f = ma_c \quad \text{（牛顿第二定律）}$

(2) 绕质心转动（顺时针为正）： $fR = J_c\alpha \quad \text{（转动定律）}$

(3) 无滑动条件（运动学约束）： $a_c = R\alpha$

联立求解：

由 (3) 得 $\alpha = a_c/R$，代入 (2)： $fR = J_c\cdot \dfrac{a_c}{R} \Rightarrow f = \dfrac{J_c a_c}{R^2}$

匀质圆柱 $J_c = \dfrac{1}{2}mR^2$，故 $f = \dfrac{1}{2}ma_c$。

代入 (1)： $mg\sin\theta - \dfrac{1}{2}ma_c = ma_c \Rightarrow mg\sin\theta = \dfrac{3}{2}ma_c$

$\boxed{a_c = \dfrac{2}{3}g\sin\theta}$

静摩擦力： $f = \dfrac{1}{2}ma_c = \dfrac{1}{2}m\cdot \dfrac{2}{3}g\sin\theta = \boxed{\dfrac{1}{3}mg\sin\theta}$

讨论：若无滑动条件不满足，即 $f > \mu_s N = \mu_s mg\cos\theta$，则会发生滑动，需重新分析。

20.（10分） 2 mol 理想气体（刚性双原子）经历如图所示循环：$A \to B$ 为等压过程，$B \to C$ 为等容过程，$C \to A$ 为等温过程。已知 $p_A = 2p_0$，$V_A = V_0$，$T_A = T_0$，$V_B = 2V_0$，$p_0 = 1.0\times 10^5\,\text{Pa}$，$V_0 = 2.0\times 10^{-3}\,\text{m}^3$。求： (1) 各状态的温度 $T_B$、$T_C$； (2) 一个循环中气体对外做的净功 $W_{\text{净}}$； (3) 循环效率 $\eta$。

【解析】

(1) 各状态温度

由理想气体状态方程 $pV = \nu RT$。

• $A \to B$ 等压过程：$\dfrac{V_A}{T_A} = \dfrac{V_B}{T_B}$，故 $T_B = T_A\cdot \dfrac{V_B}{V_A} = T_0\times \dfrac{2V_0}{V_0} = 2T_0$。

• $C \to A$ 等温过程：$T_C = T_A = T_0$。

由状态方程求 $T_0$：$T_0 = \dfrac{p_A V_A}{\nu R} = \dfrac{2p_0 V_0}{2R} = \dfrac{p_0 V_0}{R}$。

代入数值：$T_0 = \dfrac{1.0\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3}}{8.314} = \dfrac{200}{8.314} \approx 24.1\,\text{K}$。

（或保留符号表示即可）

(2) 净功

循环净功 = $p-V$ 图上循环曲线包围的面积。该循环为三角形（近似），面积 $= \dfrac{1}{2}(V_B-V_A)(p_A-p_C)$。

先求 $p_C$：$B \to C$ 等容，$\dfrac{p_B}{T_B} = \dfrac{p_C}{T_C}$，$p_B = p_A = 2p_0$，$T_B = 2T_0$，$T_C = T_0$，故 $p_C = p_B\cdot \dfrac{T_C}{T_B} = 2p_0\times \dfrac{1}{2} = p_0$。

净功：$W_{\text{净}} = \dfrac{1}{2}(2V_0-V_0)(2p_0-p_0) = \dfrac{1}{2}V_0 p_0 = \dfrac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-3}\times 1.0\times 10^5 = 100\,\text{J}$。

也可分段计算：

• $A \to B$ 等压：$W_{AB} = p_A(V_B-V_A) = 2p_0 V_0 = 400\,\text{J}$
• $B \to C$ 等容：$W_{BC} = 0$
• $C \to A$ 等温：$W_{CA} = \nu RT_0\ln\dfrac{V_A}{V_C} = 2RT_0\ln\dfrac{1}{2} = -2p_0V_0\ln 2 \approx -277\,\text{J}$

$W_{\text{净}} = 400 + 0 - 277 = 123\,\text{J}$（精确值 $2p_0V_0(1-\ln 2) \approx 123\,\text{J}$）。

三角形面积法为近似，精确值应按分段计算。答案取 $123\,\text{J}$（或 $2p_0V_0(1-\ln 2)$）。

(3) 循环效率

效率 $\eta = \dfrac{W_{\text{净}}}{Q_1}$，$Q_1$ 为循环中吸收的总热量。

• $A \to B$ 等压吸热：$Q_{AB} = \nu C_p(T_B-T_A) = 2\times \dfrac{7}{2}R\times T_0 = 7RT_0 = 7p_0V_0 = 700\,\text{J}$
• $B \to C$ 等容放热：$Q_{BC} = \nu C_V(T_C-T_B) = 2\times \dfrac{5}{2}R\times (-T_0) = -5RT_0 = -5p_0V_0 = -500\,\text{J}$（放热）
• $C \to A$ 等温放热：$Q_{CA} = W_{CA} = -2p_0V_0\ln 2 \approx -277\,\text{J}$（放热，因体积减小）

总吸热 $Q_1 = Q_{AB} = 700\,\text{J}$（只有等压过程吸热）。

$\eta = \dfrac{W_{\text{净}}}{Q_1} = \dfrac{2p_0V_0(1-\ln 2)}{7p_0V_0} = \dfrac{2(1-\ln 2)}{7} \approx \dfrac{123}{700} \approx 17.6\%$

答案：效率约为 $17.6\%$（或精确表达式 $\dfrac{2(1-\ln 2)}{7}$）。

21.（12分） 一劲度系数为 $k$ 的轻弹簧上端固定，下端挂一质量为 $m$ 的物体。将物体从平衡位置向下拉 $A$ 后释放。 (1) 证明物体做简谐振动，并求振动周期； (2) 若以平衡位置为原点、向下为正方向，写出振动方程； (3) 若 $m = 1\,\text{kg}$，$k = 100\,\text{N/m}$，$A = 0.05\,\text{m}$，求物体经过平衡位置时的速度。

【解析】

(1) 证明简谐振动并求周期

设弹簧原长时物体位置为坐标原点，向下为正。平衡时弹簧伸长 $x_0$，由 $kx_0 = mg$ 得 $x_0 = mg/k$。

以平衡位置为新原点，设物体偏离平衡位置的位移为 $x$（向下为正）。物体所受合力： $F = mg - k(x_0 + x) = mg - kx_0 - kx = -kx$

（将 $kx_0 = mg$ 代入，重力与弹力中的常数项抵消）

由牛顿第二定律： $m\dfrac{d^2x}{dt^2} = -kx \Rightarrow \dfrac{d^2x}{dt^2} + \dfrac{k}{m}x = 0$

符合简谐振动的动力学特征 $a = -\omega^2 x$，其中 $\omega = \sqrt{k/m}$。因此物体做简谐振动。

周期：$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$。

关键结论：竖直弹簧振子与水平弹簧振子的角频率相同，只是平衡位置下移了 $x_0 = mg/k$。

(2) 振动方程

$t = 0$ 时，$x_0 = A$（向下拉到 $A$ 处），$v_0 = 0$。

振幅：$A = \sqrt{x_0^2 + \dfrac{v_0^2}{\omega^2}} = A$。

初相位：$\tan\varphi = -\dfrac{v_0}{\omega x_0} = 0$，且 $x_0 = A\cos\varphi = A > 0$，故 $\varphi = 0$。

振动方程：$\boxed{x = A\cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t\right)}$（以平衡位置为原点，向下为正方向）。

(3) 经过平衡位置时的速度

由能量守恒：$\dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}mv_{\max}^2$，得 $v_{\max} = A\sqrt{k/m}$。

代入数值：$v_{\max} = 0.05\times \sqrt{100/1} = 0.05\times 10 = 0.5\,\text{m/s}$。

或直接用振动方程：$v = -A\omega\sin(\omega t)$，在平衡位置 $x=0$ 时 $\cos(\omega t) = 0$，$\sin(\omega t) = \pm 1$，故 $|v| = A\omega = 0.5\,\text{m/s}$。

答案：经过平衡位置时的速度大小为 $0.5\,\text{m/s}$。

试卷结束，祝考试顺利！