格林公式

1. 向量形式（环量/旋度形式）#

设 $\mathbf{F} = (P, Q)$，$\mathbf{T}$ 为 $C$ 的单位切向量，$\mathbf{k}$ 为 $z$ 轴单位向量：

$\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,\mathrm{d}s = \oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_D (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{k}\,\mathrm{d}A$

其中 $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{k} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}$ 是 $\mathbf{F}$ 的旋度在 $z$ 方向的分量。

2. 通量/散度形式（法向形式）#

设 $\mathbf{n}$ 为 $C$ 的单位外法向量：

$\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}s = \iint_D \nabla\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}A = \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\mathrm{d}A$

注意：此形式通常等价于对 $(-Q, P)$ 应用标准格林公式。

3. 微分形式（斯托克斯定理的特例）#

$\oint_{\partial D} \omega = \iint_D \mathrm{d}\omega$ 其中 $\omega = P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y$，$\mathrm{d}\omega = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$。

1. 面积公式（最重要的推论）#

取 $P = -\dfrac{y}{2},\; Q = \dfrac{x}{2}$，则 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 1$，于是：

$\boxed{A = \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\oint_C x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}$

前提：$C$ 是包围区域 $D$ 的简单闭曲线。这是计算不规则区域面积的经典方法。

2. 保守场（积分与路径无关）#

若在单连通区域 $D$ 内恒有： $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$

则对 $D$ 内任意闭曲线 $C$： $\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = 0$

前提：区域必须是单连通的（无洞）。如果区域有洞，即使旋度为零，沿包围洞的闭曲线积分也可能非零。

3. 复连通区域（带洞的区域）#

若 $D$ 不是单连通的，边界由外边界 $C_{out}$（逆时针）和 $n$ 条内边界 $C_{in}^{(k)}$（顺时针，即洞的边界反向）组成：

$\oint_{C_{out}} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y + \sum_{k=1}^n \oint_{C_{in}^{(k)}} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}A$

前提：所有边界方向需协调（外逆内顺），且 $P, Q$ 在 $D$ 内（包括洞之间的区域）连续可微。

4. 中值定理型近似（小区域近似）#

若区域 $D$ 很小，由积分中值定理，存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使得：

$\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y \approx \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)_{(\xi,\eta)} \cdot \text{Area}(D)$

前提：$D$ 足够小，使得被积函数在区域内变化平缓。这在数值计算和物理场的局部分析中常用。

5. 矩形区域上的简化验证#

若 $D = [a,b]\times[c,d]$ 为矩形，可直接通过两次牛顿-莱布尼兹公式验证： $\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_c^d \big[Q(b,y)-Q(a,y)\big]\mathrm{d}y$ $\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b \big[P(x,d)-P(x,c)\big]\mathrm{d}x$

这既是证明格林公式的常用思路，也是数值离散化的基础。

总结：标准格林公式要求闭曲线 + 单连通 + 函数连续可微。最实用的简化是面积公式和保守场判据；遇到有洞区域时，必须使用复连通版本并注意边界的定向。

下面按标准格林公式逐符号拆解，并给出不同物理场景下的单位对照。

场景 A：力学（功与能）#

若 $\mathbf{F}=(P,Q)$ 是力场（如 $\mathbf{F}=(F_x, F_y)$），则：

场景 B：流体力学（平面流动）#

若 $\mathbf{F}=(P,Q)$ 是速度场 $\mathbf{v}=(v_x, v_y)$：

场景 C：电磁学#

若 $\mathbf{F}$ 代表电场或磁场：

场景 D：纯数学（面积公式）#

取 $P=-y/2,\; Q=x/2$：

1. 常量（在单次问题中不变）#

• 坐标轴方向、$\mathbf{k}$：永远固定。
• 若 $P, Q$ 是具体给定的场（如 $P=x^2y,\; Q=xy^2$），则表达式中的系数是常量。
• 区域 $D$ 和边界 $C$ 的形状：在具体问题中通常是给定的几何条件。

2. 变量（随位置或路径变化）#

• $x, y$：自变量，遍历整个平面或区域。
• $P(x,y), Q(x,y)$：因变量，随位置变化。
• $\mathbf{T}, \mathbf{n}$：沿边界 $C$ 的方向向量，随弧长参数变化。
• $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}s, \mathrm{d}A$：微元，随积分位置变化。

3. 已知量 vs 待求量（典型问题设定）#

一、严格数学条件（缺一不可）#

设标准格林公式为： $\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}A$

二、适用范围与推广#

三、失效情形与反例#

经典反例详解： $\oint_{x^2+y^2=1} \frac{-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y = 2\pi \neq 0$

虽然计算得 $\partial_x Q - \partial_y P = 0$（在除原点外处处），但原点处 $P, Q$ 无定义，格林公式不能直接用。正确做法是挖去原点处小圆盘，在复连通区域上应用，结果恰好是 $2\pi$。

四、与其他积分定理的关系#

五、判断”能否使用”的决策流程#

1
开始
2
  │
3
  ▼
4
P, Q 在 D 上（含边界）是否处处有定义？
5
  │否 → 挖去奇点，用复连通区域版本
6
  │是
7
  ▼
8
P, Q 的一阶偏导数在 D 上是否连续？
9
  │否 → 格林公式失效，需用其他方法（如直接参数化、留数定理等）
10
  │是
11
  ▼
12
C 是否是分段光滑的简单闭曲线？
13
  │否 → 分解/拼接/或不能直接用
14
  │是
15
  ▼
16
C 的定向是否正确？
17
  │否 → 结果取负号
18
  │是
19
  ▼
20
可以使用标准格林公式 ✓

六、一句话总结#

格林公式成立的核心：在有界闭区域上，分段光滑的简单闭曲线包围的区域中，若 $P, Q$ 及其一阶偏导数处处连续，则线积分与二重积分相等。奇点、不光滑边界、错误定向是三大常见陷阱。