线性代数

4186 字
21 分钟
线性代数
2026-06-19
线性代数
线性代数
/
矩阵
/
向量
/
编程
浏览量加载中...

我来帮你详细解析每一道题。先用 Python 精确计算所有结果，再给出完整的推理过程。 所有计算结果已验证完毕。下面给出每道题的详细解析，每一步后面都附有小括号，说明该步的推理思路与目的。

第1题：计算下列乘积#

(1) (4311−23570)(721)\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}#

解：

按矩阵乘法规则，结果是一个 3×13 \times 1 列向量，第 ii 行元素等于左矩阵第 ii 行与右列向量对应元素乘积之和。

(4311−23570)(721)=(4×7+3×2+1×11×7+(−2)×2+3×15×7+7×2+0×1)（左矩阵每行分别与右列向量做内积，得到结果向量的三个分量）\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \times 7 + 3 \times 2 + 1 \times 1 \\ 1 \times 7 + (-2) \times 2 + 3 \times 1 \\ 5 \times 7 + 7 \times 2 + 0 \times 1 \end{pmatrix} \quad \text{（左矩阵每行分别与右列向量做内积，得到结果向量的三个分量）}=(28+6+17−4+335+14+0)（逐项计算乘积，注意第二行中间项为负数）= \begin{pmatrix} 28 + 6 + 1 \\ 7 - 4 + 3 \\ 35 + 14 + 0 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算乘积，注意第二行中间项为负数）}=(35649)（合并同类项，得到最终列向量）= \boxed{\begin{pmatrix} 35 \\ 6 \\ 49 \end{pmatrix}} \quad \text{（合并同类项，得到最终列向量）}

(2) (1,2,3)(321)(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}#

解：

这是一个 1×31 \times 3 行向量与 3×13 \times 1 列向量的乘积，结果是一个 1×11 \times 1 矩阵（即一个数）。

(1,2,3)(321)=1×3+2×2+3×1（行向量与列向量对应位置元素相乘后求和，即求内积）(1, 2, 3) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \times 3 + 2 \times 2 + 3 \times 1 \quad \text{（行向量与列向量对应位置元素相乘后求和，即求内积）}=3+4+3（逐项计算乘积）= 3 + 4 + 3 \quad \text{（逐项计算乘积）}=10（合并得到标量结果）= \boxed{10} \quad \text{（合并得到标量结果）}

(3) (213)(−1,2)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2)#

解：

这是一个 3×13 \times 1 列向量与 1×21 \times 2 行向量的乘积，结果是一个 3×23 \times 2 矩阵。第 ii 行第 jj 列元素等于左向量第 ii 个元素与右向量第 jj 个元素的乘积。

(213)(−1,2)=(2×(−1)2×21×(−1)1×23×(−1)3×2)（列向量的每个元素分别与行向量的每个元素相乘，填满 3×2 矩阵）\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} (-1, 2) = \begin{pmatrix} 2 \times (-1) & 2 \times 2 \\ 1 \times (-1) & 1 \times 2 \\ 3 \times (-1) & 3 \times 2 \end{pmatrix} \quad \text{（列向量的每个元素分别与行向量的每个元素相乘，填满 $3 \times 2$ 矩阵）}=(−24−12−36)（逐项计算乘积，注意第一列均为负数）= \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算乘积，注意第一列均为负数）}=(−24−12−36)（整理得到最终 3×2 矩阵）= \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}} \quad \text{（整理得到最终 $3 \times 2$ 矩阵）}

(4) (21401−134)(1310−121−3140−2)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}#

解：

左矩阵为 2×42 \times 4，右矩阵为 4×34 \times 3，结果应为 2×32 \times 3 矩阵。设结果矩阵为 C=(cij)C = (c_{ij})，其中 cij=∑k=14aikbkjc_{ij} = \sum_{k=1}^{4} a_{ik} b_{kj}。

第一行：

  • c11=2×1+1×0+4×1+0×4=2+0+4+0=6c_{11} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 4 \times 1 + 0 \times 4 = 2 + 0 + 4 + 0 = 6 \quad（第一行与第一列对应元素相乘求和，得到结果矩阵左上角元素）

  • c12=2×3+1×(−1)+4×(−3)+0×0=6−1−12+0=−7c_{12} = 2 \times 3 + 1 \times (-1) + 4 \times (-3) + 0 \times 0 = 6 - 1 - 12 + 0 = -7 \quad（第一行与第二列对应元素相乘求和，注意负数项）

  • c13=2×1+1×2+4×1+0×(−2)=2+2+4+0=8c_{13} = 2 \times 1 + 1 \times 2 + 4 \times 1 + 0 \times (-2) = 2 + 2 + 4 + 0 = 8 \quad（第一行与第三列对应元素相乘求和）

第二行：

  • c21=1×1+(−1)×0+3×1+4×4=1+0+3+16=20c_{21} = 1 \times 1 + (-1) \times 0 + 3 \times 1 + 4 \times 4 = 1 + 0 + 3 + 16 = 20 \quad（第二行与第一列对应元素相乘求和）

  • c22=1×3+(−1)×(−1)+3×(−3)+4×0=3+1−9+0=−5c_{22} = 1 \times 3 + (-1) \times (-1) + 3 \times (-3) + 4 \times 0 = 3 + 1 - 9 + 0 = -5 \quad（第二行与第二列对应元素相乘求和，注意 (−1)×(−1)=1(-1) \times (-1) = 1）

  • c23=1×1+(−1)×2+3×1+4×(−2)=1−2+3−8=−6c_{23} = 1 \times 1 + (-1) \times 2 + 3 \times 1 + 4 \times (-2) = 1 - 2 + 3 - 8 = -6 \quad（第二行与第三列对应元素相乘求和）

综上：

(6−7820−5−6)（将6个元素按位置填入 2×3 结果矩阵）\boxed{\begin{pmatrix} 6 & -7 & 8 \\ 20 & -5 & -6 \end{pmatrix}} \quad \text{（将6个元素按位置填入 $2 \times 3$ 结果矩阵）}

(5) (x1,x2,x3)(a11a12a13a12a22a23a13a23a33)(x1x2x3)(x_1, x_2, x_3) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}#

解：

先计算前两个因子的乘积（1×31 \times 3 矩阵乘 3×33 \times 3 矩阵），得到一个 1×31 \times 3 行向量：

(x1,x2,x3)(a11a12a13a12a22a23a13a23a33)（先处理左起前两个矩阵的乘法，降低维度复杂度）(x_1, x_2, x_3) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \quad \text{（先处理左起前两个矩阵的乘法，降低维度复杂度）}=(a11x1+a12x2+a13x3,  a12x1+a22x2+a23x3,  a13x1+a23x2+a33x3)（行向量与矩阵相乘，每个分量是原行向量与矩阵对应列的内积）= \bigl( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3,\; a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3,\; a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3 \bigr) \quad \text{（行向量与矩阵相乘，每个分量是原行向量与矩阵对应列的内积）}

再将此 1×31 \times 3 行向量与最后的 3×13 \times 1 列向量相乘：

=(a11x1+a12x2+a13x3)x1+(a12x1+a22x2+a23x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3（行向量与列向量相乘，对应分量相乘后求和）= \bigl( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \bigr) x_1 + \bigl( a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \bigr) x_2 + \bigl( a_{13}x_1 + a_{23}x_2 + a_{33}x_3 \bigr) x_3 \quad \text{（行向量与列向量相乘，对应分量相乘后求和）}

展开并合并同类项：

=a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3（展开后，交叉项系数合并，例如 a12x2x1+a12x1x2=2a12x1x2）= a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 \quad \text{（展开后，交叉项系数合并，例如 $a_{12}x_2x_1 + a_{12}x_1x_2 = 2a_{12}x_1x_2$）}=∑i=13∑j=13aijxixj（用双求和符号简洁表示，这是一个关于 x1,x2,x3 的二次型）= \boxed{\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij} x_i x_j} \quad \text{（用双求和符号简洁表示，这是一个关于 $x_1, x_2, x_3$ 的二次型）}

第2题#

设 A=(11111−11−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}，B=(123−1−24051)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}，求 3AB−2A3AB - 2A 及 ATBA^T B。

解：

第一步：计算 ABAB

AB=(11111−11−11)(123−1−24051)（先计算矩阵乘积，这是后续计算的基础）AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（先计算矩阵乘积，这是后续计算的基础）}

逐行逐列计算：

  • 第一行：(1,1,1)(1,1,1) 与 BB 的各列内积

    • 第一列：1×1+1×(−1)+1×0=01 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times 0 = 0
    • 第二列：1×2+1×(−2)+1×5=51 \times 2 + 1 \times (-2) + 1 \times 5 = 5
    • 第三列：1×3+1×4+1×1=81 \times 3 + 1 \times 4 + 1 \times 1 = 8

  • 第二行：(1,1,−1)(1,1,-1) 与 BB 的各列内积

    • 第一列：1×1+1×(−1)+(−1)×0=01 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times 0 = 0
    • 第二列：1×2+1×(−2)+(−1)×5=−51 \times 2 + 1 \times (-2) + (-1) \times 5 = -5
    • 第三列：1×3+1×4+(−1)×1=61 \times 3 + 1 \times 4 + (-1) \times 1 = 6

  • 第三行：(1,−1,1)(1,-1,1) 与 BB 的各列内积

    • 第一列：1×1+(−1)×(−1)+1×0=21 \times 1 + (-1) \times (-1) + 1 \times 0 = 2
    • 第二列：1×2+(−1)×(−2)+1×5=91 \times 2 + (-1) \times (-2) + 1 \times 5 = 9
    • 第三列：1×3+(−1)×4+1×1=01 \times 3 + (-1) \times 4 + 1 \times 1 = 0
AB=(0580−56290)（将9个内积结果按位置填入 3×3 矩阵）AB = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & -5 & 6 \\ 2 & 9 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（将9个内积结果按位置填入 $3 \times 3$ 矩阵）}

第二步：计算 3AB−2A3AB - 2A

3AB=3(0580−56290)=(015240−15186270)（数乘矩阵，每个元素乘以标量3）3AB = 3 \begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & -5 & 6 \\ 2 & 9 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 15 & 24 \\ 0 & -15 & 18 \\ 6 & 27 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（数乘矩阵，每个元素乘以标量3）}2A=2(11111−11−11)=(22222−22−22)（数乘矩阵，每个元素乘以标量2，为减法做准备）2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{（数乘矩阵，每个元素乘以标量2，为减法做准备）}3AB−2A=(0−215−224−20−2−15−218−(−2)6−227−(−2)0−2)（矩阵减法，对应位置元素相减，注意负数运算）3AB - 2A = \begin{pmatrix} 0-2 & 15-2 & 24-2 \\ 0-2 & -15-2 & 18-(-2) \\ 6-2 & 27-(-2) & 0-2 \end{pmatrix} \quad \text{（矩阵减法，对应位置元素相减，注意负数运算）}=(−21322−2−1720429−2)（逐项计算差值，得到最终结果）= \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 13 & 22 \\ -2 & -17 & 20 \\ 4 & 29 & -2 \end{pmatrix}} \quad \text{（逐项计算差值，得到最终结果）}

第三步：计算 ATBA^T B

先求 AA 的转置：

AT=(11111−11−11)（观察发现 A 是对称矩阵，即 AT=A，转置后行变列、列变行）A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（观察发现 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$，转置后行变列、列变行）}

因此：

ATB=AB=(0580−56290)（利用 AT=A 的结论，直接引用已计算的 AB 结果）A^T B = A B = \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 5 & 8 \\ 0 & -5 & 6 \\ 2 & 9 & 0 \end{pmatrix}} \quad \text{（利用 $A^T = A$ 的结论，直接引用已计算的 $AB$ 结果）}

第3题#

已知两个线性变换：

{x1=2y1+y3x2=−2y1+3y2+2y3x3=4y1+y2+5y3{y1=−3z1+z2y2=2z1+z3y3=−z2+3z3\begin{cases} x_1 = 2y_1 + y_3 \\ x_2 = -2y_1 + 3y_2 + 2y_3 \\ x_3 = 4y_1 + y_2 + 5y_3 \end{cases} \qquad \begin{cases} y_1 = -3z_1 + z_2 \\ y_2 = 2z_1 + z_3 \\ y_3 = -z_2 + 3z_3 \end{cases}

求从 z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 到 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 的线性变换。

解：

第一步：写出矩阵形式

将两个线性变换分别写成矩阵形式 x=Ay\mathbf{x} = A\mathbf{y} 和 y=Bz\mathbf{y} = B\mathbf{z}：

(x1x2x3)=(201−232415)(y1y2y3)（将第一个线性变换的系数按变量顺序提取为矩阵 A，注意 y2 在 x1 中系数为0）\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \quad \text{（将第一个线性变换的系数按变量顺序提取为矩阵 $A$，注意 $y_2$ 在 $x_1$ 中系数为0）}(y1y2y3)=(−3102010−13)(z1z2z3)（将第二个线性变换的系数提取为矩阵 B，注意 z3 在 y1 中系数为0）\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} \quad \text{（将第二个线性变换的系数提取为矩阵 $B$，注意 $z_3$ 在 $y_1$ 中系数为0）}

第二步：复合变换

将 y=Bz\mathbf{y} = B\mathbf{z} 代入 x=Ay\mathbf{x} = A\mathbf{y}，得：

x=A(Bz)=(AB)z（利用矩阵乘法的结合律，将两个变换复合为一个从 z 到 x 的直接变换）\mathbf{x} = A(B\mathbf{z}) = (AB)\mathbf{z} \quad \text{（利用矩阵乘法的结合律，将两个变换复合为一个从 $\mathbf{z}$ 到 $\mathbf{x}$ 的直接变换）}

计算 ABAB：

AB=(201−232415)(−3102010−13)（计算 3×3 矩阵乘积，得到复合变换矩阵）AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $3 \times 3$ 矩阵乘积，得到复合变换矩阵）}

逐行计算：

  • 第一行：(2,0,1)(2, 0, 1)

    • 第一列：2×(−3)+0×2+1×0=−62 \times (-3) + 0 \times 2 + 1 \times 0 = -6
    • 第二列：2×1+0×0+1×(−1)=12 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times (-1) = 1
    • 第三列：2×0+0×1+1×3=32 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 3 = 3

  • 第二行：(−2,3,2)(-2, 3, 2)

    • 第一列：(−2)×(−3)+3×2+2×0=6+6+0=12(-2) \times (-3) + 3 \times 2 + 2 \times 0 = 6 + 6 + 0 = 12
    • 第二列：(−2)×1+3×0+2×(−1)=−2+0−2=−4(-2) \times 1 + 3 \times 0 + 2 \times (-1) = -2 + 0 - 2 = -4
    • 第三列：(−2)×0+3×1+2×3=0+3+6=9(-2) \times 0 + 3 \times 1 + 2 \times 3 = 0 + 3 + 6 = 9

  • 第三行：(4,1,5)(4, 1, 5)

    • 第一列：4×(−3)+1×2+5×0=−12+2+0=−104 \times (-3) + 1 \times 2 + 5 \times 0 = -12 + 2 + 0 = -10
    • 第二列：4×1+1×0+5×(−1)=4+0−5=−14 \times 1 + 1 \times 0 + 5 \times (-1) = 4 + 0 - 5 = -1
    • 第三列：4×0+1×1+5×3=0+1+15=164 \times 0 + 1 \times 1 + 5 \times 3 = 0 + 1 + 15 = 16
AB=(−61312−49−10−116)（将计算结果填入复合变换矩阵）AB = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 12 & -4 & 9 \\ -10 & -1 & 16 \end{pmatrix} \quad \text{（将计算结果填入复合变换矩阵）}

第三步：写出最终的线性变换

{x1=−6z1+z2+3z3x2=12z1−4z2+9z3x3=−10z1−z2+16z3（将矩阵 AB 的各元素作为系数，还原为方程组形式，完成从 z 到 x 的变换）\boxed{ \begin{cases} x_1 = -6z_1 + z_2 + 3z_3 \\ x_2 = 12z_1 - 4z_2 + 9z_3 \\ x_3 = -10z_1 - z_2 + 16z_3 \end{cases} } \quad \text{（将矩阵 $AB$ 的各元素作为系数，还原为方程组形式，完成从 $\mathbf{z}$ 到 $\mathbf{x}$ 的变换）}

第4题#

设 A=(1213)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}，B=(1012)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}，问：

(1) AB=BAAB = BA 吗？#

解：

先分别计算 ABAB 和 BABA。

AB=(1213)(1012)=(1×1+2×11×0+2×21×1+3×11×0+3×2)（按矩阵乘法规则计算 AB）AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 1 \times 1 + 3 \times 1 & 1 \times 0 + 3 \times 2 \end{pmatrix} \quad \text{（按矩阵乘法规则计算 $AB$）}=(3446)（计算每个内积，得到 AB 的结果）= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{（计算每个内积，得到 $AB$ 的结果）}BA=(1012)(1213)=(1×1+0×11×2+0×31×1+2×11×2+2×3)（交换顺序后重新计算 BA，注意乘法顺序不可随意交换）BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 0 \times 1 & 1 \times 2 + 0 \times 3 \\ 1 \times 1 + 2 \times 1 & 1 \times 2 + 2 \times 3 \end{pmatrix} \quad \text{（交换顺序后重新计算 $BA$，注意乘法顺序不可随意交换）}=(1238)（计算每个内积，得到 BA 的结果）= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \quad \text{（计算每个内积，得到 $BA$ 的结果）}

比较：

AB=(3446)≠(1238)=BA（逐元素比较两个矩阵，发现对应位置元素不全相等）AB = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} = BA \quad \text{（逐元素比较两个矩阵，发现对应位置元素不全相等）}不成立，即 AB≠BA（得出结论：矩阵乘法一般不满足交换律）\boxed{\text{不成立，即 } AB \neq BA} \quad \text{（得出结论：矩阵乘法一般不满足交换律）}

(2) (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 吗？#

解：

先计算等式左边 (A+B)2(A+B)^2。

A+B=(1213)+(1012)=(2225)（先计算矩阵加法，对应元素相加）A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{（先计算矩阵加法，对应元素相加）}(A+B)2=(A+B)(A+B)=(2225)(2225)（平方即矩阵自乘，不能简单套用数的平方公式）(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{（平方即矩阵自乘，不能简单套用数的平方公式）}=(2×2+2×22×2+2×52×2+5×22×2+5×5)=(8141429)（逐项计算内积，得到左边结果）= \begin{pmatrix} 2 \times 2 + 2 \times 2 & 2 \times 2 + 2 \times 5 \\ 2 \times 2 + 5 \times 2 & 2 \times 2 + 5 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 14 & 29 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算内积，得到左边结果）}

再计算等式右边 A2+2AB+B2A^2 + 2AB + B^2。

A2=(1213)(1213)=(38411)（计算 A 的平方）A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $A$ 的平方）}B2=(1012)(1012)=(1034)（计算 B 的平方）B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $B$ 的平方）}2AB=2(3446)=(68812)（利用第(1)问已求得的 AB 结果，乘以标量2）2AB = 2 \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \quad \text{（利用第(1)问已求得的 $AB$ 结果，乘以标量2）}A2+2AB+B2=(38411)+(68812)+(1034)（将三个矩阵相加，对应元素求和）A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{（将三个矩阵相加，对应元素求和）}=(10161527)（逐项相加，得到右边结果）= \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 15 & 27 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项相加，得到右边结果）}

比较：

(A+B)2=(8141429)≠(10161527)=A2+2AB+B2（左右两边矩阵不相等，验证失败）(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ 14 & 29 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 15 & 27 \end{pmatrix} = A^2 + 2AB + B^2 \quad \text{（左右两边矩阵不相等，验证失败）}

原因分析： 在数的运算中 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 成立是因为乘法可交换。但矩阵乘法不满足交换律，正确的展开应为：

(A+B)2=A2+AB+BA+B2（矩阵展开时，AB 与 BA 不能合并为 2AB，因为 AB≠BA）(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \quad \text{（矩阵展开时，$AB$ 与 $BA$ 不能合并为 $2AB$，因为 $AB \neq BA$）}

由于 AB≠BAAB \neq BA，所以 AB+BA≠2ABAB + BA \neq 2AB。

不成立（得出结论：数的完全平方公式不能直接套用于矩阵）\boxed{\text{不成立}} \quad \text{（得出结论：数的完全平方公式不能直接套用于矩阵）}

(3) (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 吗？#

解：

先计算等式左边 (A+B)(A−B)(A+B)(A-B)。

A+B=(2225),A−B=(0201)（先分别计算 A+B 和 A−B，为乘法做准备）A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad A - B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（先分别计算 $A+B$ 和 $A-B$，为乘法做准备）}(A+B)(A−B)=(2225)(0201)（计算两个和差矩阵的乘积）(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（计算两个和差矩阵的乘积）}=(2×0+2×02×2+2×12×0+5×02×2+5×1)=(0609)（逐项计算内积，得到左边结果）= \begin{pmatrix} 2 \times 0 + 2 \times 0 & 2 \times 2 + 2 \times 1 \\ 2 \times 0 + 5 \times 0 & 2 \times 2 + 5 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算内积，得到左边结果）}

再计算等式右边 A2−B2A^2 - B^2。

A2−B2=(38411)−(1034)（利用前面已计算的 A2 和 B2 结果，做矩阵减法）A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{（利用前面已计算的 $A^2$ 和 $B^2$ 结果，做矩阵减法）}=(2817)（对应元素相减，得到右边结果）= \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \quad \text{（对应元素相减，得到右边结果）}

比较：

(A+B)(A−B)=(0609)≠(2817)=A2−B2（左右两边矩阵不相等，验证失败）(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = A^2 - B^2 \quad \text{（左右两边矩阵不相等，验证失败）}

原因分析： 在数的运算中 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 成立是因为 ab=baab = ba。但矩阵乘法不满足交换律，正确的展开应为：

(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2（矩阵展开时，中间项 −AB+BA 不一定为零，因为 AB≠BA）(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 \quad \text{（矩阵展开时，中间项 $-AB + BA$ 不一定为零，因为 $AB \neq BA$）}

由于 AB≠BAAB \neq BA，所以 −AB+BA≠O-AB + BA \neq O。

不成立（得出结论：数的平方差公式不能直接套用于矩阵）\boxed{\text{不成立}} \quad \text{（得出结论：数的平方差公式不能直接套用于矩阵）}

第5题#

举反例说明下列命题是错误的：若 A2=OA^2 = O，则 A=OA = O。

解：

要否定这个命题，只需找到一个非零矩阵 AA，使得 A2A^2 等于零矩阵。

考虑矩阵：

A=(0100)（构造一个上三角矩阵，主对角线全为0但右上角非零，这是典型的幂零矩阵形式）A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（构造一个上三角矩阵，主对角线全为0但右上角非零，这是典型的幂零矩阵形式）}

首先验证 A≠OA \neq O：

A=(0100)≠(0000)（检查矩阵 A，发现其 (1,2) 位置元素为1，显然不是零矩阵）A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（检查矩阵 $A$，发现其 $(1,2)$ 位置元素为1，显然不是零矩阵）}

再计算 A2A^2：

A2=A⋅A=(0100)(0100)（计算 A 的平方，验证是否为零矩阵）A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 $A$ 的平方，验证是否为零矩阵）}=(0×0+1×00×1+1×00×0+0×00×1+0×0)=(0000)（逐项计算内积，发现所有元素均为0，即 A2=O）= \begin{pmatrix} 0 \times 0 + 1 \times 0 & 0 \times 1 + 1 \times 0 \\ 0 \times 0 + 0 \times 0 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（逐项计算内积，发现所有元素均为0，即 $A^2 = O$）}

结论：

找到了矩阵 A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}，满足 A≠OA \neq O 但 A2=OA^2 = O。

反例：A=(0100)（该矩阵非零，但其平方为零矩阵，成功否定原命题）\boxed{\text{反例：} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} \quad \text{（该矩阵非零，但其平方为零矩阵，成功否定原命题）}

深层原因： 矩阵乘法中存在零因子（non-zero zero divisors），即两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵。这与数的乘法性质截然不同——在实数域中，若 a2=0a^2 = 0 则必有 a=0a = 0。

文章分享

如果这篇文章对你有帮助，欢迎分享给更多人！

线性代数
https://boyuan.net.cn/posts/线性代数/
作者
Boyuan
发布于
2026-06-19
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
重积分的应用
问题解答1
相关文章智能推荐
1
22从高数数据库迁移过来的
线性代数我来帮你详细解析每一道题。先用 Python 精确计算所有结果，再给出完整的推理过程。 所有计算结果已验证完毕。下面给出每道题的详细解析，每一步后面都附有小括号，说明该步的推理思路与目的。 第1题：计算下列乘积 (1) 解： 按矩阵乘法规则…
2
23从高数数据库迁移过来的
线性代数下面给出第二页（第 514 题）每一问的详细解析，每一步后面均用小括号注明该步的推理思路与目的。 所有数值与符号运算已验证完毕。下面给出第 514 题每一问的详细解析，每一步后面均用小括号注明该步的推理思路与目的。 第 5 题：举反例说明下…
3
24从高数数据库迁移过来的
线性代数下面给出第 14 题(3)(4) 至第 27 题的详细解析，每一步后面均用小括号注明该步的推理思路与目的。 第 14 题（续） (3) 解： 设 ， ， ，方程为 。 方程两边先左乘 、再右乘 ，得： 计算 ： 计算 ： 计算 ： 先算 ：…
4
12向量空间：从具体箭头到抽象结构的跃迁
线性代数向量空间：从"具体箭头"到"抽象结构"的跃迁 作为初学者，理解向量空间最大的障碍往往是：我们太熟悉高中物理里那个"带箭头的线段"了。向量空间的美妙之处，恰恰在于它完全不在乎你研究的对象是不是箭头。让我带你层层剥开这个概念。 一、通俗定义：什…
5
线性代数_期末A卷_详解版
线性代数线性代数期末考试 A卷（详解版） 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 设 为 阶方阵，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 答案：B 解析： 设 为 阶方阵， 为常数，则行列式性质：…
随机文章随机推荐

评论区

分享你的想法，与大家交流讨论

Profile Image of the Author
Boyuan
石以砥焉，化钝为利。
欢迎来访
石以砥焉，化钝为利。这里是我的个人站点，主要记录学习笔记、项目实践和一些零散的想法。站内文章可用右上角搜索，也可以订阅 RSS。
分类
标签
更多
最新动态
站点统计
文章
139
分类
17
标签
49
总字数
1,721,112
运行时长
0 天
最后活动
0 天前
站点信息
构建平台
Local
博客版本
v1.0.0
文章许可
CC BY-NC-SA 4.0
文章目录
1
第1题：计算下列乘积
(1) (4311−23570)(721)\begin${pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \end${pmatrix} \begin${pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end${pmatrix}​415​3−27​130​​​721​​
(2) (1,2,3)(321)(1, 2, 3) \begin${pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end${pmatrix}(1,2,3)​321​​
(3) (213)(−1,2)\begin${pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end${pmatrix} (-1, 2)​213​​(−1,2)
(4) (21401−134)(1310−121−3140−2)\begin${pmatrix} 2 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \end${pmatrix} \begin${pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end${pmatrix}(21​1−1​43​04​)​1014​3−1−30​121−2​​
(5) (x1,x2,x3)(a11a12a13a12a22a23a13a23a33)(x1x2x3)(x_1, x_2, x_3) \begin${pmatrix} a_${11} & a_${12} & a_${13} \\ a_${12} & a_${22} & a_${23} \\ a_${13} & a_${23} & a_${33} \end${pmatrix} \begin${pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end${pmatrix}(x1​,x2​,x3​)​a11​a12​a13​​a12​a22​a23​​a13​a23​a33​​​​x1​x2​x3​​​
2
第2题
3
第3题
4
第4题
(1) AB=BAAB = BAAB=BA 吗？
(2) (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2(A+B)2=A2+2AB+B2 吗？
(3) (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2(A+B)(A−B)=A2−B2 吗？
5
第5题