一、选择题#

1. B　　2. B　　3. A　　4. B　　5. C

二、填空题#

1. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{3}$

2. $(1+xy)e^{xy}$

3. $\int_0^1 dy\int_0^y f(x,y)\,dx$

4. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，$x\in(-\infty,+\infty)$

5. $4\pi R^3$

三、计算题#

1. 解：使用拉格朗日乘数法。设 $L=x^2+y^2+z^2+\lambda(x+y+z-1)$。

令 $\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0$，$\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0$，$\frac{\partial L}{\partial z}=2z+\lambda=0$，$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y+z-1=0$。

由前三式得 $x=y=z=-\frac{\lambda}{2}$，代入第四式得 $3x=1$，即 $x=y=z=\frac{1}{3}$。

最小值为 $u_{min}=3\times\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$。

2. 解：积分区域 $D$ 为 $0\leq x\leq 1$，$x\leq y\leq 2x$。

$\iint_D \frac{y}{x}\,dxdy = \int_0^1 dx \int_x^{2x} \frac{y}{x}\,dy = \int_0^1 \frac{1}{x}\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_x^{2x}\,dx$

$=\int_0^1 \frac{1}{x}\cdot\frac{4x^2-x^2}{2}\,dx = \int_0^1 \frac{3x}{2}\,dx = \frac{3}{4}$

3. 解：设 $P=2x-y$，$Q=x+3y$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}=1$，$\frac{\partial P}{\partial y}=-1$。

由格林公式：

$\oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = \iint_D 2\,dxdy = 2\times 1 = 2$

4. 解：曲面 $\Sigma$：$z=\sqrt{x^2+y^2}$，$z\leq 1$，即 $x^2+y^2\leq 1$。

$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy=\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}\,dxdy=\sqrt{2}\,dxdy$

$\iint_\Sigma z\,dS = \iint_{x^2+y^2\leq 1} \sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{2}\,dxdy = \sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r\cdot r\,dr$

$=\sqrt{2}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}$

5. 解：收敛半径 $R=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$。

当 $x=1$ 时，$\sum n$ 发散；当 $x=-1$ 时，$\sum n(-1)^{n-1}$ 发散。

收敛域为 $(-1,1)$。

设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$，则 $\int_0^x S(t)\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$，$|x|<1$。

故 $S(x)=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}$，$x\in(-1,1)$。

四、综合题#

1. 解：（1）利用柱坐标，$\Omega$：$0\leq\theta\leq 2\pi$，$0\leq r\leq 2$，$r^2\leq z\leq 4$。

$V=\iiint_\Omega dxdydz=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 r\,dr\int_{r^2}^4 dz=2\pi\int_0^2 r(4-r^2)\,dr$

$=2\pi\left(2r^2-\frac{r^4}{4}\right)\Big|_0^2=2\pi(8-4)=8\pi$

（2）$\iiint_\Omega z\,dxdydz=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 r\,dr\int_{r^2}^4 z\,dz=2\pi\int_0^2 r\cdot\frac{16-r^4}{2}\,dr$

$=\pi\int_0^2(16r-r^5)\,dr=\pi\left(8r^2-\frac{r^6}{6}\right)\Big|_0^2=\pi\left(32-\frac{32}{3}\right)=\frac{64\pi}{3}$

2. 解：$a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\,dx=\frac{\pi}{2}$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^{\pi}=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}$

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2}\right]_0^{\pi}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$

$f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos nx+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\right]$

令 $x=0$，得 $0=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}$，故 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。