解析#

第一步：写出对应的对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ （二次型矩阵的写法：平方项系数放对角线，交叉项系数平分放两侧，这样保证矩阵对称，才能用后续判定定理）

第二步：尝试用定义直接验证 将 $f$ 配方： $\begin{aligned} f &= 3x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2 \\ &= 3\left(x_1+\frac{1}{3}x_2\right)^2 + \frac{8}{3}x_2^2 \end{aligned}$ （配方的目的是把交叉项消去，化为平方和形式，这样正负性一目了然；提取系数 3 后，括号内完成平方需要 $\frac{1}{3}x_2$，所以减去 $3\cdot(\frac{1}{3}x_2)^2 = \frac{1}{3}x_2^2$，原系数 3 减去 $\frac{1}{3}$ 得 $\frac{8}{3}$）

第三步：分析符号 $f = 3\left(x_1+\frac{1}{3}x_2\right)^2 + \frac{8}{3}x_2^2 \geq 0$ （两个平方项系数都是正数，所以 $f$ 非负；要判断是否正定，还需看等号成立条件）

第四步：确定等号成立条件 $f=0$ 当且仅当： $\begin{cases} x_1+\frac{1}{3}x_2 = 0 \\ x_2 = 0 \end{cases} \Rightarrow x_1=x_2=0$ （两个平方项同时为零，才能整体为零；解这个方程组发现只有零解，说明非零向量代入必为正）

结论：$f$ 是正定二次型。 $\square$

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第一步：写出矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ （$x_1^2$ 系数 2 放 $a_{11}$，$x_2^2$ 系数 3 放 $a_{22}$，$x_3^2$ 系数 1 放 $a_{33}$；$x_1x_2$ 系数 2 平分得 $a_{12}=a_{21}=1$；$x_2x_3$ 系数 2 平分得 $a_{23}=a_{32}=1$；注意 $x_1x_3$ 系数为 0，所以 $a_{13}=a_{31}=0$）

第二步：计算顺序主子式

• 一阶顺序主子式：$\Delta_1 = |2| = 2 > 0$ （顺序主子式就是从左上角开始取 $1\times1, 2\times2, 3\times3$ 子矩阵的行列式；一阶就是第一个对角元）

• 二阶顺序主子式： $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\times3 - 1\times1 = 5 > 0$ （计算二阶行列式，交叉相乘再相减；结果为正，继续检验下一阶）

• 三阶顺序主子式： $\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}3&1\\1&1\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix} + 0 = 2(3-1) - 1(1-0) = 4-1 = 3 > 0$ （按第一行展开计算三阶行列式；也可以先化简再展开；结果为正，三个顺序主子式全正）

第三步：应用判定定理 因为 $A$ 的所有顺序主子式都大于 0，根据霍尔维茨定理（Sylvester 准则），$A$ 正定。 （顺序主子式法是判断具体数值矩阵最快捷的方法，不需要算特征值，不需要配方，只需算几个行列式）

结论：$f$ 是正定二次型。 $\square$

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第一步：写出对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & t & 0 \\ t & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ （$x_1x_2$ 系数 $2t$ 平分后 $a_{12}=a_{21}=t$；$x_2x_3$ 系数 2 平分后 $a_{23}=a_{32}=1$；其余对角元为平方项系数）

第二步：列出顺序主子式正定的条件 正定要求所有顺序主子式 $>0$：

• $\Delta_1 = 2 > 0$ （恒成立，对 $t$ 无约束）

• $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & t \\ t & 1 \end{vmatrix} = 2 - t^2 > 0$ （解这个不等式：$t^2 < 2$，即 $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$；这是参数的第一个约束范围）

• $\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & t & 0 \\ t & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ 按第一行展开： $= 2\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix} - t\begin{vmatrix}t&1\\0&3\end{vmatrix} + 0 = 2(3-1) - t(3t-0) = 4 - 3t^2 > 0$ （三阶行列式展开；注意第二项的符号是 $(-1)^{1+2}=-1$，所以是 $-t$ 乘以余子式；解得 $t^2 < \frac{4}{3}$，即 $-\frac{2\sqrt{3}}{3} < t < \frac{2\sqrt{3}}{3}$）

第三步：求交集 要同时满足： $\begin{cases} -\sqrt{2} < t < \sqrt{2} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{3} < t < \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{cases}$

比较数值：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155$。 （取交集的原则是”更严格的条件生效”；因为 $1.155 < 1.414$，所以第二个区间更窄）

结论：当 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} < t < \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 时，$f$ 为正定二次型。 $\square$

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第一步：分析已知条件的结构 题目给出矩阵多项式方程：$A^3 - 3A^2 + 5A - 3E = O$。 （这种形式提示我们用特征值的性质：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 5\lambda - 3$ 是 $A^3-3A^2+5A-3E$ 的特征值）

第二步：利用特征值性质 设 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值，则 $\lambda$ 满足： $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 5\lambda - 3 = 0$ （因为零矩阵的所有特征值都是 0，而矩阵多项式的特征值就是特征值的多项式）

第三步：求解特征值的可能取值 分解多项式： $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 5\lambda - 3 = (\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+3) = 0$ （尝试有理根 $\lambda=1$ 代入验证：$1-3+5-3=0$，成立；再用多项式除法分解出二次因式）

解 $\lambda^2-2\lambda+3=0$： $\lambda = \frac{2\pm\sqrt{4-12}}{2} = 1\pm\sqrt{2}i$ （判别式为负，得到一对共轭复根；但 $A$ 是实对称矩阵，其特征值必须是实数）

第四步：确定实特征值 因为 $A$ 实对称，特征值只能是实数，所以复根 $1\pm\sqrt{2}i$ 被排除。 （实对称矩阵的基本性质：特征值都是实数；这是关键约束，把复数解筛掉）

因此 $A$ 的所有特征值都是 $\lambda = 1$。 （唯一可能的实特征值是 1；注意这里不是说特征值只有一个是 1，而是说每个特征值都等于 1，即 $A$ 的所有特征值都是 1）

第五步：判定正定性 因为 $A$ 的所有特征值 $\lambda = 1 > 0$， （特征值法判定：实对称矩阵正定 $\Leftrightarrow$ 所有特征值 $>0$）

结论：$A$ 是正定矩阵。 $\square$

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先证 "$\Rightarrow$"：若 $B^\mathrm{T}AB$ 正定，则 $r(B)=n$

第一步：利用正定定义 $B^\mathrm{T}AB$ 正定 $\Rightarrow$ 对任意 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$（$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$），有： $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}(B^\mathrm{T}AB)\boldsymbol{x} > 0$ （正定的定义：非零向量代入二次型值为正）

第二步：变形分析 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}B^\mathrm{T}AB\boldsymbol{x} = (B\boldsymbol{x})^\mathrm{T}A(B\boldsymbol{x}) > 0$ （把 $B\boldsymbol{x}$ 看作一个整体向量，设为 $\boldsymbol{y}=B\boldsymbol{x}$；则上式变为 $\boldsymbol{y}^\mathrm{T}A\boldsymbol{y}>0$）

第三步：分析 $B\boldsymbol{x}$ 是否为零 若 $B\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，则 $(B\boldsymbol{x})^\mathrm{T}A(B\boldsymbol{x}) = 0$，与 $>0$ 矛盾。 （因为 $A$ 正定，若 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$ 则 $\boldsymbol{y}^\mathrm{T}A\boldsymbol{y}=0$；但正定要求对非零 $\boldsymbol{x}$ 结果 $>0$，所以 $B\boldsymbol{x}$ 不能为 $\boldsymbol{0}$）

所以对任意 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$，必有 $B\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$。 （这说明 $B$ 的零空间只有零向量，即齐次方程 $B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 只有零解）

第四步：得出秩的结论 $B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ $B$ 的列向量线性无关 $\Leftrightarrow$ $r(B)=n$。 （齐次方程只有零解的等价条件；$B$ 是 $m\times n$ 矩阵，列满秩意味着 $n$ 个列向量都线性无关，秩等于列数）

再证 "$\Leftarrow$"：若 $r(B)=n$，则 $B^\mathrm{T}AB$ 正定

第一步：验证对称性 $(B^\mathrm{T}AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}(B^\mathrm{T})^\mathrm{T} = B^\mathrm{T}AB$ （因为 $A$ 正定所以 $A$ 对称，即 $A^\mathrm{T}=A$；转置运算性质：$(CD)^\mathrm{T}=D^\mathrm{T}C^\mathrm{T}$；验证对称性是使用正定判定定理的前提，只有对称矩阵才能谈正定）

所以 $B^\mathrm{T}AB$ 是实对称矩阵。

第二步：验证定义 对任意 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$（$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$），考虑： $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}(B^\mathrm{T}AB)\boldsymbol{x} = (B\boldsymbol{x})^\mathrm{T}A(B\boldsymbol{x})$ （同样配方变形，把 $B\boldsymbol{x}$ 看作整体）

第三步：利用 $r(B)=n$ 的条件 因为 $r(B)=n$，所以 $B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 只有零解。 （列满秩矩阵的齐次方程只有零解，即 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ 时 $B\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$）

因此当 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ 时，$B\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$。

第四步：利用 $A$ 的正定性 令 $\boldsymbol{y} = B\boldsymbol{x}$，则 $\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}$，且： $(B\boldsymbol{x})^\mathrm{T}A(B\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{y}^\mathrm{T}A\boldsymbol{y} > 0$ （因为 $A$ 正定，对任意非零向量 $\boldsymbol{y}$ 都有 $\boldsymbol{y}^\mathrm{T}A\boldsymbol{y}>0$）

第五步：结论 对任意 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}(B^\mathrm{T}AB)\boldsymbol{x} > 0$，且 $B^\mathrm{T}AB$ 对称， （满足正定的两个条件：对称 + 对非零向量二次型值为正）

结论：$B^\mathrm{T}AB$ 正定。 $\square$