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下面给出第二页（第 5~~14 题）每一问的详细解析，每一步后面均用小括号注明该步的推理思路与目的。所有数值与符号运算已验证完毕。下面给出第 5~~14 题每一问的详细解析，每一步后面均用小括号注明该步的推理思路与目的。

第 5 题：举反例说明下列命题是错误的#

(2) 命题：若 $A^2 = A$ ，则 $A = O$ 或 $A = E$ #

反例构造：

取

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（构造一个既非零矩阵也非单位矩阵的上三角矩阵，其第一行相同、第二行全零，使其具备“投影”特征）}

验证 $A \neq O$ 且 $A \neq E$ ：

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A \neq \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（先确认该矩阵不满足命题结论的两个分支，确保它是真正的反例候选）}

计算 $A^2$ ：

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 0 & 1 \times 1 + 1 \times 0 \\ 0 \times 1 + 0 \times 0 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（按矩阵乘法逐项计算内积，验证平方后是否保持不变）}

因此 $A^2 = A$ ，但 $A \neq O$ 且 $A \neq E$ 。

\boxed{\text{反例：} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} \quad \text{（该矩阵满足 } A^2=A \text{ 却不等于 } O \text{ 或 } E \text{，命题得证为假）}

(3) 命题：若 $AX = AY$ 且 $A \neq O$ ，则 $X = Y$ #

反例构造：

取

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（构造一个非零的奇异矩阵 } A \text{，使其第二行全零，从而“抹掉” } X,Y \text{ 的差异）}

验证 $A \neq O$ ：

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq O \quad \text{（确认前提条件 } A \neq O \text{ 成立）}

计算 $AX$ 与 $AY$ ：

AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（计算左乘结果，} A \text{ 的第二行全零导致结果第二行必为零）}

AY = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（同理计算，} Y \text{ 的第二行虽与 } X \text{ 不同，但被 } A \text{ 的第二行零化）}

因此 $AX = AY = O$ ，但

X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = Y \quad \text{（直接对比 } X,Y \text{ 的对应元素，确认二者不相等）}

\boxed{\text{反例：上述 } A, X, Y} \quad \text{（矩阵乘法没有消去律，} A \neq O \text{ 不能保证左消去）}

第 6 题：求矩阵的幂#

(1) 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$ ，求 $A^2, A^3, \dots, A^k$ #

解：

先计算低次幂寻找规律。

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 0 \times \lambda & 1 \times 0 + 0 \times 1 \\ \lambda \times 1 + 1 \times \lambda & \lambda \times 0 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2\lambda & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（直接矩阵乘法，观察左下角元素出现系数 } 2\text{）}

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2\lambda & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2\lambda + \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3\lambda & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（继续右乘 } A \text{，左下角元素系数累加为 } 3\text{，推测规律为 } k\lambda\text{）}

数学归纳法证明：

归纳基础： $k=1$ 时， $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$ ，显然成立。 $\quad \text{（验证最简单情形，奠定归纳起点）}$

归纳假设： 设 $k=n$ 时成立，即 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n\lambda & 1 \end{pmatrix}$ 。 $\quad \text{（假设对第 } n \text{ 次幂成立，为递推做准备）}$

归纳步骤： 当 $k=n+1$ 时，

A^{n+1} = A^n \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n\lambda & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n\lambda + \lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ (n+1)\lambda & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（利用归纳假设右乘 } A \text{，左下角元素由 } n\lambda \text{ 递增至 } (n+1)\lambda\text{）}

故由归纳法，对任意正整数 $k$ ：

\boxed{A^k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k\lambda & 1 \end{pmatrix}} \quad \text{（给出通项公式，完成从低次幂观察到一般规律的严格证明）}

(2) 设 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$ ，求 $A^k$ #

解：

将 $A$ 分解为数量矩阵与幂零矩阵之和：

A = \lambda E + N, \quad \text{其中 } N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（把含参数 } \lambda \text{ 的对角部分分离出来，使剩余部分 } N \text{ 结构简单，便于高次幂计算）}

计算 $N$ 的幂：

N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（计算 } N \text{ 的平方，观察非零元素向右上角移动）}

N^3 = N^2 \cdot N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O \quad \text{（计算 } N \text{ 的立方，发现恰好为零矩阵，说明 } N \text{ 是幂零指数为3的幂零矩阵）}

由于 $\lambda E$ 与 $N$ 可交换（ $(\lambda E)N = N(\lambda E) = \lambda N$ ），可用二项式定理展开：

A^k = (\lambda E + N)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} (\lambda E)^{k-i} N^i = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} \lambda^{k-i} N^i \quad \text{（利用可交换性套用二项式展开，将矩阵高次幂转化为求和式）}

因为 $N^3 = O$ ，当 $i \ge 3$ 时 $N^i = O$ ，只需保留 $i=0,1,2$ 三项：

A^k = \binom{k}{0}\lambda^k N^0 + \binom{k}{1}\lambda^{k-1} N + \binom{k}{2}\lambda^{k-2} N^2 \quad \text{（利用 } N^3=O \text{ 截断无穷级数，仅保留前三项，大幅简化计算）}

= \lambda^k E + k\lambda^{k-1} N + \frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2} N^2 \quad \text{（写出组合数显式表达式，准备代回矩阵形式）}

代回矩阵：

A^k = \lambda^k \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + k\lambda^{k-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（将三项分别展开为矩阵，按位置叠加）}

合并同类项：

\boxed{A^k = \begin{pmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1} & \dfrac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2} \\[6pt] 0 & \lambda^k & k\lambda^{k-1} \\[6pt] 0 & 0 & \lambda^k \end{pmatrix}} \quad \text{（逐位置相加，得到最终的上三角矩阵表达式，其中右上角元素为二项式系数形式）}

第 7 题：矩阵的高次幂#

(1) 设 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ ，求 $A^{50}$ 及 $A^{51}$ #

解：

先计算 $A^2$ ，寻找简化规律：

A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 3 + 1 \times 1 & 3 \times 1 + 1 \times (-3) \\ 1 \times 3 + (-3) \times 1 & 1 \times 1 + (-3) \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} = 10E \quad \text{（先算平方，发现结果恰为数量矩阵，这是计算高次幂的关键突破口）}

因此：

A^{50} = (A^2)^{25} = (10E)^{25} = 10^{25} E = \begin{pmatrix} 10^{25} & 0 \\ 0 & 10^{25} \end{pmatrix} \quad \text{（利用幂的乘方公式 } (A^2)^{25}=A^{50} \text{，将高次幂降为数量矩阵的简单幂运算）}

A^{51} = A^{50} \cdot A = 10^{25} E \cdot A = 10^{25} A = \begin{pmatrix} 3 \cdot 10^{25} & 10^{25} \\ 10^{25} & -3 \cdot 10^{25} \end{pmatrix} \quad \text{（利用 } A^{51}=A^{50}A \text{ 及 } EA=A \text{，将结果表示为 } A \text{ 的数乘）}

\boxed{A^{50} = 10^{25} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{51} = 10^{25} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}} \quad \text{（给出最终简洁形式，突出数量矩阵与原始矩阵的关系）}

(2) 设 $\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ ， $A = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ ，求 $A^{100}$ #

解：

先计算 $A$ ：

A = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 \\ -3 & -6 & -12 \end{pmatrix} \quad \text{（列向量乘行向量得到秩1矩阵，这是后续递推的基础形态）}

计算关键标量 $\boldsymbol{b}^T \boldsymbol{a}$ ：

\boldsymbol{b}^T \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 4 \times (-3) = 2 + 2 - 12 = -8 \quad \text{（计算行向量与列向量的内积，得到一个标量，该标量将决定递推系数）}

计算 $A^2$ ：

A^2 = (\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T)(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T) = \boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}^T\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}^T = (\boldsymbol{b}^T\boldsymbol{a})(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T) = -8A \quad \text{（利用矩阵乘法结合律，将中间的 } \boldsymbol{b}^T\boldsymbol{a} \text{ 提取为标量，实现降次）}

由此得到递推关系：

A^2 = -8A \quad \text{（建立递推公式，将二次幂降为一次幂的数乘）}

进而：

A^3 = A^2 \cdot A = (-8A)A = -8A^2 = (-8)^2 A \quad \text{（继续递推，验证规律：每次多乘一个 } -8 \text{）}

由归纳法可得：

A^k = (-8)^{k-1} A \quad \text{（归纳得到一般公式，秩1矩阵的幂保持自身形态，仅系数变化）}

因此：

A^{100} = (-8)^{99} A = (-8)^{99} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 \\ -3 & -6 & -12 \end{pmatrix} \quad \text{（代入 } k=100 \text{，得到最终答案，保留矩阵形式与系数）}

\boxed{A^{100} = (-8)^{99} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 \\ -3 & -6 & -12 \end{pmatrix}} \quad \text{（最终结果，强调秩1矩阵的高次幂仍为自身倍数）}

第 8 题：对称矩阵与反对称矩阵的证明#

(1) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 为对称矩阵，证明 $B^T A B$ 也是对称矩阵#

证明：

要证 $B^T A B$ 对称，只需证 $(B^T A B)^T = B^T A B$ 。

(B^T A B)^T = B^T A^T (B^T)^T \quad \text{（利用转置的乘积法则 } (XYZ)^T = Z^T Y^T X^T \text{，从外向内逐层取转置）}

= B^T A^T B \quad \text{（利用转置的对合性 } (B^T)^T = B \text{，简化中间项）}

= B^T A B \quad \text{（利用已知条件 } A^T = A \text{，代入即得目标形式）}

故 $(B^T A B)^T = B^T A B$ ，即 $B^T A B$ 为对称矩阵。

\quad \text{（结论成立，整个推导仅使用了转置运算律与 } A \text{ 的对称性）}

(2) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶对称矩阵，证明 $AB$ 是对称矩阵的充分必要条件是 $AB = BA$ #

证明：

必要性（ $\Rightarrow$ ）：设 $AB$ 为对称矩阵，则

(AB)^T = AB \quad \text{（从对称矩阵的定义出发，写出转置等式）}

另一方面：

(AB)^T = B^T A^T = BA \quad \text{（利用转置乘积法则，再代入 } A^T=A, B^T=B \text{ 的已知条件）}

因此 $AB = BA$ 。 $\quad \text{（联立两个表达式，得到必要性结论：若 } AB \text{ 对称则必可交换）}$

充分性（ $\Leftarrow$ ）：设 $AB = BA$ ，则

(AB)^T = B^T A^T = BA = AB \quad \text{（先按转置法则展开，再利用对称性与交换条件，最终回到 } AB \text{ 本身）}

故 $AB$ 为对称矩阵。 $\quad \text{（充分性得证：可交换性保证乘积转置等于自身）}$

\boxed{AB \text{ 对称 } \Longleftrightarrow AB = BA} \quad \text{（综合双向证明，给出完整的充要条件结论）}

(3) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶反对称矩阵，证明 $AB$ 是反对称矩阵的充分必要条件是 $AB = -BA$ #

证明：

已知 $A^T = -A$ ， $B^T = -B$ 。

先计算 $(AB)^T$ ：

(AB)^T = B^T A^T = (-B)(-A) = BA \quad \text{（利用转置乘积法则，再代入反对称定义，负负得正得到 } BA\text{）}

必要性（ $\Rightarrow$ ）：设 $AB$ 为反对称矩阵，则

(AB)^T = -AB \quad \text{（反对称矩阵的定义：转置等于自身的负矩阵）}

结合上式得：

BA = -AB \quad \Longrightarrow \quad AB = -BA \quad \text{（联立转置结果与定义，整理即得必要条件）}

充分性（ $\Leftarrow$ ）：设 $AB = -BA$ ，则

(AB)^T = BA = -AB \quad \text{（利用已算的 } (AB)^T=BA \text{，再代入假设条件 } BA=-AB\text{）}

故 $AB$ 为反对称矩阵。 $\quad \text{（满足反对称定义，充分性成立）}$

\boxed{AB \text{ 反对称 } \Longleftrightarrow AB = -BA} \quad \text{（结论成立，与对称矩阵情形类似，但中间出现负号）}

第 9 题：求逆矩阵#

(1) 求 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

解：

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ ，先算行列式：

|A| = 1 \times 5 - 2 \times 2 = 5 - 4 = 1 \neq 0 \quad \text{（计算2阶行列式，确认可逆；若为零则不可逆）}

由2阶逆矩阵公式 $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ ：

A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（套用公式：主对角线互换，副对角线变号，再除以行列式）}

\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}} \quad \text{（给出最终逆矩阵，可验证 } AA^{-1}=E\text{）}

(2) 求 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

解：

设 $A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ，这是旋转矩阵。

计算行列式：

|A| = \cos\theta \cdot \cos\theta - (-\sin\theta) \cdot \sin\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \quad \text{（利用三角恒等式，行列式为1，确认可逆且属于正交矩阵）}

由2阶逆矩阵公式：

A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{（套用公式，注意副对角线元素符号变化）}

观察发现：

A^{-1} = A^T \quad \text{（逆矩阵恰为转置矩阵，这是正交矩阵的核心性质）}

\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}} \quad \text{（结果可解释为旋转 } -\theta \text{ 的矩阵，即逆旋转）}

(3) 求 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

解：

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ 。

第一步：计算行列式 $|A|$

|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} \quad \text{（按第一行展开，将3阶行列式降为3个2阶行列式）}

= 1 \cdot (4 - 8) - 2 \cdot (3 + 10) - 1 \cdot (-12 - 20) \quad \text{（分别计算3个2阶行列式，注意符号与括号）}

= -4 - 26 + 32 = 2 \quad \text{（合并数值，行列式为2，确认矩阵可逆）}

第二步：求代数余子式

A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -13, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} = -32 \quad \text{（计算第一行各元素的代数余子式，注意符号交替 } +,-,+\text{）}

A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 6, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} = 14 \quad \text{（计算第二行，符号为 } -,+,-\text{）}

A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2 \quad \text{（计算第三行，符号为 } +,-,+\text{）}

第三步：构造伴随矩阵并求逆

代数余子式矩阵为：

\begin{pmatrix} -4 & -13 & -32 \\ 2 & 6 & 14 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{（将9个代数余子式按位置排列）}

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 为其转置：

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ -13 & 6 & -1 \\ -32 & 14 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{（伴随矩阵定义为代数余子式矩阵的转置，切勿遗漏转置步骤）}

因此：

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ -13 & 6 & -1 \\ -32 & 14 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -\dfrac{13}{2} & 3 & -\dfrac{1}{2} \\ -16 & 7 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{（套用逆矩阵公式 } A^{-1}=\frac{1}{|A|}\text{adj}(A) \text{，逐元素除以2）}

\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\[4pt] -\dfrac{13}{2} & 3 & -\dfrac{1}{2} \\[4pt] -16 & 7 & -1 \end{pmatrix}} \quad \text{（给出最终逆矩阵，可抽样验证如 } (AA^{-1})_{11}=1\text{）}

(4) 求对角矩阵 $\text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的逆矩阵（ $a_i \neq 0$ ）#

解：

设 $A = \begin{pmatrix} a_1 & & \\ & a_2 & \\ & & \ddots \\ & & & a_n \end{pmatrix}$ 。 $\quad \text{（写出对角矩阵的标准形式，非对角元素全为零）}$

由于对角矩阵相乘时，只需将对角元素对应相乘：

A \cdot \text{diag}\!\left(\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}\right) = \text{diag}\!\left(a_1 \cdot \frac{1}{a_1}, a_2 \cdot \frac{1}{a_2}, \dots, a_n \cdot \frac{1}{a_n}\right) = E \quad \text{（直接构造候选逆矩阵，利用对角矩阵乘法法则逐项验证）}

且因 $a_i \neq 0$ ，各 $\dfrac{1}{a_i}$ 均有意义。 $\quad \text{（确认前提条件保证逆矩阵元素存在）}$

\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} a_1^{-1} & & \\ & a_2^{-1} & \\ & & \ddots \\ & & & a_n^{-1} \end{pmatrix}} \quad \text{（结论：对角矩阵的逆仍为对角矩阵，只需将对角元素取倒数）}

第 10 题：已知线性变换，求逆变换#

已知

\begin{cases} x_1 = 2y_1 + 2y_2 + y_3 \\ x_2 = 3y_1 + y_2 + 5y_3 \\ x_3 = 3y_1 + 2y_2 + 3y_3 \end{cases}

求从变量 $x_1, x_2, x_3$ 到 $y_1, y_2, y_3$ 的线性变换。

解：

将线性变换写成矩阵形式 $\mathbf{x} = A\mathbf{y}$ ：

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \quad \text{（提取系数矩阵 } A \text{，将方程组转化为紧凑的矩阵向量乘法）}

要求 $\mathbf{y}$ 关于 $\mathbf{x}$ 的表达式，即求 $\mathbf{y} = A^{-1}\mathbf{x}$ ，故需计算 $A^{-1}$ 。

计算 $|A|$ ：

|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \quad \text{（按第一行展开，准备计算3阶行列式）}

= 2(3-10) - 2(9-15) + 1(6-3) = -14 + 12 + 3 = 1 \quad \text{（逐项计算并合并，行列式为1，简化后续逆矩阵计算）}

求 $A^{-1}$ （因 $|A|=1$ ，逆矩阵即伴随矩阵）：

计算代数余子式：

A_{11} = -7,\; A_{12} = 6,\; A_{13} = 3;\quad A_{21} = -4,\; A_{22} = 3,\; A_{23} = 2;\quad A_{31} = 9,\; A_{32} = -7,\; A_{33} = -4 \quad \text{（系统计算9个代数余子式，注意符号规律）}

伴随矩阵（代数余子式矩阵的转置）：

A^{-1} = \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -7 & -4 & 9 \\ 6 & 3 & -7 \\ 3 & 2 & -4 \end{pmatrix} \quad \text{（转置代数余子式矩阵，因行列式为1，无需再做除法）}

因此：

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -4 & 9 \\ 6 & 3 & -7 \\ 3 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \quad \text{（左乘逆矩阵，得到 } \mathbf{y} \text{ 关于 } \mathbf{x} \text{ 的矩阵表达式）}

展开为方程组：

\boxed{ \begin{cases} y_1 = -7x_1 - 4x_2 + 9x_3 \\ y_2 = 6x_1 + 3x_2 - 7x_3 \\ y_3 = 3x_1 + 2x_2 - 4x_3 \end{cases} } \quad \text{（将矩阵乘法逐行展开，还原为显式的线性变换方程组）}

第 11 题：证明 $(E-J)^{-1} = E - \dfrac{1}{n-1}J$ #

设 $J$ 是元素全为 $1$ 的 $n$ （ $n \ge 2$ ）阶方阵， $E$ 是同阶单位矩阵。

证明：

要证 $(E-J)^{-1} = E - \dfrac{1}{n-1}J$ ，只需验证 $(E-J)\left(E - \dfrac{1}{n-1}J\right) = E$ 。 $\quad \text{（逆矩阵定义法：直接验证候选矩阵与原矩阵相乘是否得单位矩阵）}$

展开乘积：

(E-J)\left(E - \frac{1}{n-1}J\right) = E \cdot E - \frac{1}{n-1}EJ - JE + \frac{1}{n-1}J^2 \quad \text{（按分配律展开四项，准备分别化简）}

= E - \frac{1}{n-1}J - J + \frac{1}{n-1}J^2 \quad \text{（利用 } EJ=J \text{ 与 } JE=J \text{，因为单位矩阵与任何矩阵相乘可交换且不变）}

计算 $J^2$ ：

J^2 = J \cdot J = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n & \cdots & n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ n & \cdots & n \end{pmatrix} = nJ \quad \text{（全1矩阵相乘，每个元素是n个1相加，故 } J^2=nJ\text{，这是关键恒等式）}

代回：

= E - \frac{1}{n-1}J - J + \frac{1}{n-1} \cdot nJ \quad \text{（将 } J^2=nJ \text{ 代入，把矩阵项统一为 } J \text{ 的线性组合）}

= E + \left(-\frac{1}{n-1} - 1 + \frac{n}{n-1}\right)J \quad \text{（提取公因子 } J \text{，将系数合并到同一括号内）}

= E + \left(\frac{-1 - (n-1) + n}{n-1}\right)J = E + \frac{0}{n-1}J = E \quad \text{（通分计算系数：分子恰好为 } -1-n+1+n=0\text{，矩阵项完全消去）}

因此 $(E-J)\left(E - \dfrac{1}{n-1}J\right) = E$ ，同理可验证另一侧乘法。

\quad \text{（验证成功，由逆矩阵定义，候选矩阵确为逆矩阵）}

\boxed{(E-J)^{-1} = E - \frac{1}{n-1}J} \quad \text{（结论成立，核心在于利用 } J^2=nJ \text{ 实现矩阵项的抵消）}

第 12 题：证明 $(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$ #

设 $A^k = O$ （ $k$ 为正整数）。

证明：

直接验证乘积：

(E-A)(E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}) \quad \text{（采用定义法，将候选逆矩阵与原矩阵相乘）}

= E(E + A + \dots + A^{k-1}) - A(E + A + \dots + A^{k-1}) \quad \text{（按分配律展开，拆为单位矩阵与 } A \text{ 分别相乘）}

= (E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}) - (A + A^2 + A^3 + \dots + A^k) \quad \text{（逐项相乘，注意 } E \cdot A^i = A^i \text{ 与 } A \cdot A^i = A^{i+1}\text{）}

观察发现，从 $A$ 到 $A^{k-1}$ 的项全部抵消：

= E - A^k \quad \text{（中间项 } A, A^2, \dots, A^{k-1} \text{ 正负成对出现， telescoping 后仅剩首项 } E \text{ 与末项 } -A^k\text{）}

由已知 $A^k = O$ ：

= E - O = E \quad \text{（代入幂零条件，得到单位矩阵，验证成功）}

同理可证另一侧 $(E + A + \dots + A^{k-1})(E-A) = E$ 。

\quad \text{（矩阵乘法在此处虽一般不可交换，但多项式形式的展开对左右乘均成立）}

\boxed{(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}} \quad \text{（结论成立，这是矩阵版本的等比级数求和公式，也称 Neumann 级数）}

第 13 题：证明可逆并求逆矩阵#

设方阵 $A$ 满足 $A^2 - A - 2E = O$ 。

证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$ #

解：

从已知等式凑出 $A$ 与另一矩阵的乘积为数量矩阵：

A^2 - A = 2E \quad \text{（将常数项 } -2E \text{ 移到右边，使左边可提取公因子 } A\text{）}

A(A - E) = 2E \quad \text{（左边提取 } A \text{，得到 } A \text{ 与 } (A-E) \text{ 的乘积形式）}

A \cdot \frac{1}{2}(A - E) = E \quad \text{（两边同除以标量2，将右边化为单位矩阵，符合逆矩阵定义）}

因此 $A$ 可逆，且

\boxed{A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E)} \quad \text{（由逆矩阵唯一性，直接读出 } A \text{ 的逆矩阵表达式）}

证明 $A + 2E$ 可逆，并求 $(A + 2E)^{-1}$ #

解：

从已知 $A^2 - A - 2E = O$ 出发，尝试将左边因式分解为含 $(A+2E)$ 的乘积。

设 $(A+2E)(A+aE) = A^2 + (a+2)A + 2aE$ ，希望其等于 $cE$ （数量矩阵）。 $\quad \text{（待定系数法：假设逆矩阵为 } A+aE \text{ 的线性组合，展开后与原方程对比）}$

展开并与已知条件联系：

(A+2E)(A-3E) = A^2 - 3A + 2A - 6E = A^2 - A - 6E \quad \text{（取 } a=-3 \text{ 使得一次项系数匹配已知方程中的 } -A\text{）}

由已知 $A^2 - A = 2E$ ，代入：

= (A^2 - A) - 6E = 2E - 6E = -4E \quad \text{（利用已知条件替换 } A^2-A \text{，将表达式化为纯数量矩阵）}

因此：

(A+2E)(A-3E) = -4E \quad \text{（得到 } (A+2E) \text{ 与另一矩阵的乘积为数量矩阵）}

(A+2E) \cdot \left(-\frac{1}{4}(A-3E)\right) = E \quad \text{（两边同除以 } -4 \text{，使右边化为单位矩阵）}

故 $A+2E$ 可逆，且

\boxed{(A+2E)^{-1} = \frac{3E - A}{4}} \quad \text{（整理符号，给出简洁的最终逆矩阵表达式）}

第 14 题：解矩阵方程#

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ #

解：

设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ，方程为 $AX = B$ 。

先求 $A^{-1}$ ：

|A| = 2 \times 3 - 5 \times 1 = 6 - 5 = 1 \quad \text{（计算系数矩阵行列式，确认可逆）}

A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{（套用2阶逆矩阵公式）}

方程两边左乘 $A^{-1}$ ：

X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{（矩阵方程两边左乘逆矩阵，消去左边的 } A \text{；注意必须是左乘而非右乘）}

计算乘积：

= \begin{pmatrix} 3 \times 4 + (-5) \times 2 & 3 \times (-6) + (-5) \times 1 \\ (-1) \times 4 + 2 \times 2 & (-1) \times (-6) + 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - 10 & -18 - 5 \\ -4 + 4 & 6 + 2 \end{pmatrix} \quad \text{（按矩阵乘法逐项计算内积）}

= \begin{pmatrix} 2 & -23 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \quad \text{（合并结果，得到未知矩阵 } X\text{）}

\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -23 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}} \quad \text{（给出最终答案，可代回原方程验证）}

(2) $X \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ #

解：

设 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ ， $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ ，方程为 $XB = C$ 。

先求 $B^{-1}$ （ $B$ 为 $3 \times 3$ ）：

计算 $|B|$ ：

|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \quad \text{（按第一行展开）}

= 2(1-0) - 1(2-0) - 1(-2-1) = 2 - 2 + 3 = 3 \quad \text{（计算3个2阶行列式并合并，得行列式为3）}

计算代数余子式：

B_{11}=1,\; B_{12}=-2,\; B_{13}=-3;\quad B_{21}=0,\; B_{22}=3,\; B_{23}=3;\quad B_{31}=1,\; B_{32}=-2,\; B_{33}=0 \quad \text{（系统计算9个代数余子式）}

伴随矩阵（转置）：

\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（代数余子式矩阵转置得到伴随矩阵）}

因此：

B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（伴随矩阵除以行列式3，得到逆矩阵）}

方程两边右乘 $B^{-1}$ ：

X = CB^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（矩阵方程两边右乘逆矩阵，消去右边的 } B\text{；注意此处必须是右乘）}

计算乘积（先算 $C \cdot \text{adj}(B)$ ，再除以3）：

第一行：

第1列： $1 \times 1 + (-1) \times (-2) + 3 \times (-3) = 1 + 2 - 9 = -6$
第2列： $1 \times 0 + (-1) \times 3 + 3 \times 3 = 0 - 3 + 9 = 6$
第3列： $1 \times 1 + (-1) \times (-2) + 3 \times 0 = 1 + 2 + 0 = 3$

第二行：

第1列： $4 \times 1 + 3 \times (-2) + 2 \times (-3) = 4 - 6 - 6 = -8$
第2列： $4 \times 0 + 3 \times 3 + 2 \times 3 = 0 + 9 + 6 = 15$
第3列： $4 \times 1 + 3 \times (-2) + 2 \times 0 = 4 - 6 + 0 = -2$

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -6 & 6 & 3 \\ -8 & 15 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ -\dfrac{8}{3} & 5 & -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix} \quad \text{（逐项完成内积计算，最后将每个元素除以行列式3）}

\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\[4pt] -\dfrac{8}{3} & 5 & -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}} \quad \text{（给出最终 } 2 \times 3 \text{ 矩阵，可抽样代入原方程验证）}

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第 5 题：举反例说明下列命题是错误的#

(2) 命题：若 $A^2 = A$ ，则 $A = O$ 或 $A = E$ #

(3) 命题：若 $AX = AY$ 且 $A \neq O$ ，则 $X = Y$ #

第 6 题：求矩阵的幂#

(1) 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$ ，求 $A^2, A^3, \dots, A^k$ #

(2) 设 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$ ，求 $A^k$ #

第 7 题：矩阵的高次幂#

(1) 设 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ ，求 $A^{50}$ 及 $A^{51}$ #

(2) 设 $\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ ， $A = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ ，求 $A^{100}$ #

第 8 题：对称矩阵与反对称矩阵的证明#

(1) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 为对称矩阵，证明 $B^T A B$ 也是对称矩阵#

(2) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶对称矩阵，证明 $AB$ 是对称矩阵的充分必要条件是 $AB = BA$ #

(3) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶反对称矩阵，证明 $AB$ 是反对称矩阵的充分必要条件是 $AB = -BA$ #

第 9 题：求逆矩阵#

(1) 求 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

(2) 求 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

(3) 求 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

(4) 求对角矩阵 $\text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的逆矩阵（ $a_i \neq 0$ ）#

第 10 题：已知线性变换，求逆变换#

第 11 题：证明 $(E-J)^{-1} = E - \dfrac{1}{n-1}J$ #

第 12 题：证明 $(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$ #

第 13 题：证明可逆并求逆矩阵#

证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$ #

证明 $A + 2E$ 可逆，并求 $(A + 2E)^{-1}$ #

第 14 题：解矩阵方程#

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ #

(2) $X \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ #

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第 5 题：举反例说明下列命题是错误的#

(2) 命题：若 A2=AA^2 = AA2=A，则 A=OA = OA=O 或 A=EA = EA=E#

(3) 命题：若 AX=AYAX = AYAX=AY 且 A≠OA \neq OA=O，则 X=YX = YX=Y#

第 6 题：求矩阵的幂#

(1) 设 A=(10λ1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}A=(1λ​01​)，求 A2,A3,…,AkA^2, A^3, \dots, A^kA2,A3,…,Ak#

(2) 设 A=(λ100λ100λ)A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}A=​λ00​1λ0​01λ​​，求 AkA^kAk#

第 7 题：矩阵的高次幂#

(1) 设 A=(311−3)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}A=(31​1−3​)，求 A50A^{50}A50 及 A51A^{51}A51#

(2) 设 a=(21−3)\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}a=​21−3​​，b=(124)\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}b=​124​​，A=abTA = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^TA=abT，求 A100A^{100}A100#

第 8 题：对称矩阵与反对称矩阵的证明#

(1) 设 A,BA, BA,B 为 nnn 阶矩阵，且 AAA 为对称矩阵，证明 BTABB^T A BBTAB 也是对称矩阵#

(2) 设 A,BA, BA,B 都是 nnn 阶对称矩阵，证明 ABABAB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BAAB = BAAB=BA#

(3) 设 A,BA, BA,B 都是 nnn 阶反对称矩阵，证明 ABABAB 是反对称矩阵的充分必要条件是 AB=−BAAB = -BAAB=−BA#

第 9 题：求逆矩阵#

(1) 求 (1225)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}(12​25​) 的逆矩阵#

(2) 求 (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}(cosθsinθ​−sinθcosθ​) 的逆矩阵#

(3) 求 (12−134−25−41)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}​135​24−4​−1−21​​ 的逆矩阵#

(4) 求对角矩阵 diag(a1,a2,…,an)\text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)diag(a1​,a2​,…,an​) 的逆矩阵（ai≠0a_i \neq 0ai​=0）#

第 10 题：已知线性变换，求逆变换#

第 11 题：证明 (E−J)−1=E−1n−1J(E-J)^{-1} = E - \dfrac{1}{n-1}J(E−J)−1=E−n−11​J#

第 12 题：证明 (E−A)−1=E+A+A2+⋯+Ak−1(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}(E−A)−1=E+A+A2+⋯+Ak−1#

第 13 题：证明可逆并求逆矩阵#

证明 AAA 可逆，并求 A−1A^{-1}A−1#

证明 A+2EA + 2EA+2E 可逆，并求 (A+2E)−1(A + 2E)^{-1}(A+2E)−1#

第 14 题：解矩阵方程#

(1) (2513)X=(4−621)\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}(21​53​)X=(42​−61​)#

(2) X(21−12101−11)=(1−13432)X \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}X​221​11−1​−101​​=(14​−13​32​)#

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(2) 命题：若 $A^2 = A$ ，则 $A = O$ 或 $A = E$ #

(3) 命题：若 $AX = AY$ 且 $A \neq O$ ，则 $X = Y$ #

(1) 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$ ，求 $A^2, A^3, \dots, A^k$ #

(2) 设 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$ ，求 $A^k$ #

(1) 设 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ ，求 $A^{50}$ 及 $A^{51}$ #

(2) 设 $\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ ， $A = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ ，求 $A^{100}$ #

(1) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 为对称矩阵，证明 $B^T A B$ 也是对称矩阵#

(2) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶对称矩阵，证明 $AB$ 是对称矩阵的充分必要条件是 $AB = BA$ #

(3) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶反对称矩阵，证明 $AB$ 是反对称矩阵的充分必要条件是 $AB = -BA$ #

(1) 求 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

(2) 求 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

(3) 求 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵#

(4) 求对角矩阵 $\text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的逆矩阵（ $a_i \neq 0$ ）#

第 11 题：证明 $(E-J)^{-1} = E - \dfrac{1}{n-1}J$ #

第 12 题：证明 $(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$ #

证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$ #

证明 $A + 2E$ 可逆，并求 $(A + 2E)^{-1}$ #

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ #

(2) $X \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ #