24从高数数据库迁移过来的

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$#

解：

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，方程为 $AXB = C$。 $\quad \text{（引入符号简化书写，明确方程结构为左乘、右乘两个可逆矩阵）}$

方程两边先左乘 $A^{-1}$、再右乘 $B^{-1}$，得：

计算 $A^{-1}$：

计算 $B^{-1}$：

计算 $X = A^{-1} C B^{-1}$：

先算 $A^{-1} C$：

再右乘 $B^{-1}$：

(4) 设 $AXB = C$，其中 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$#

解：

方程两边左乘 $A^{-1}$、右乘 $B^{-1}$，得：

求 $A^{-1}$（2阶）：

求 $B^{-1}$（3阶）：

计算 $|B|$：

计算代数余子式并构造伴随矩阵（过程略），得：

计算 $X = A^{-1} C B^{-1}$：

先算 $A^{-1} C$（$2 \times 2$ 乘 $2 \times 3$，得 $2 \times 3$）：

再右乘 $B^{-1}$（$2 \times 3$ 乘 $3 \times 3$，得 $2 \times 3$）：

逐元素计算：

• 第一行：$(7-\frac{2}{3}+\frac{4}{3},\; -3+\frac{2}{3}+0,\; -3+0-\frac{4}{3}) = (\frac{23}{3},\; -\frac{7}{3},\; -\frac{13}{3})$
• 第二行：$(-7+\frac{4}{3}-\frac{5}{3},\; 3-\frac{4}{3}+0,\; 3+0+\frac{5}{3}) = (-\frac{22}{3},\; \frac{5}{3},\; \frac{14}{3})$

(1) $\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ 2x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 2 \\ 3x_1 + 5x_2 + x_3 = 3 \end{cases}$#

解：

写成矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$：

方法一：克拉默法则

先计算 $|A|$：

构造 $A_1, A_2, A_3$（分别将第1,2,3列替换为 $\mathbf{b}$）：

由克拉默法则：

方法二：逆矩阵法

求 $A^{-1}$（过程略，利用伴随矩阵）：

(2) $\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 3 \\ x_1 + 3x_2 + 9x_3 = 5 \end{cases}$#

解：

系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$（这是范德蒙德矩阵），$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$。

克拉默法则：

因此：

逆矩阵法：

求 $A^{-1}$（过程略）后代入 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$，结果同上。

(1) 若 $|A| = 0$，则 $|A^*| = 0$#

证明：

由伴随矩阵基本公式 $AA^* = |A|E$： $\quad \text{（从核心恒等式出发，这是联系 } A \text{ 与 } A^* \text{ 的桥梁）}$

若 $|A| = 0$，则 $AA^* = O$。 $\quad \text{（代入已知条件，得到零矩阵等式）}$

假设 $|A^*| \neq 0$，则 $A^*$ 可逆。两边右乘 $(A^*)^{-1}$：

若 $A = O$，则 $A^* = O$（所有代数余子式均为0），从而 $|A^*| = 0$，与假设矛盾。 $\quad \text{（导出矛盾，说明假设不成立）}$

故 $|A^*| = 0$。

(2) $|A^*| = |A|^{n-1}$#

证明：

对 $AA^* = |A|E$ 两边取行列式：

左边：$|AA^*| = |A| \cdot |A^*|$ $\quad \text{（利用行列式乘积法则 } |XY|=|X||Y|\text{）}$

右边：$||A|E| = |A|^n \cdot |E| = |A|^n$ $\quad \text{（利用 } |kE| = k^n \text{，此处 } k=|A|\text{）}$

因此：

若 $|A| \neq 0$，两边除以 $|A|$：

若 $|A| = 0$，由 (1) 知 $|A^*| = 0$，而 $|A|^{n-1} = 0^{n-1} = 0$，等式仍成立。 $\quad \text{（补充 } |A|=0 \text{ 的情形，利用第(1)问结果）}$