题目 1#

判断下列极限是否存在，若不存在请说明理由：

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$

详细解析#

思路分析：这是二重极限中最经典的反例。分子的次数（2次）等于分母的次数（2次），这种情况下极限往往不存在，因为沿不同斜率的直线逼近会得到不同结果。

解答过程：

令点 $(x,y)$ 沿直线 $y = kx$ 趋向 $(0,0)$，则：

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}$

结果依赖于 $k$ 的取值：

• 当 $k=0$（沿 $x$ 轴）：极限 $= 0$
• 当 $k=1$（沿 $y=x$）：极限 $= \frac{1}{2}$
• 当 $k=2$（沿 $y=2x$）：极限 $= \frac{2}{5}$

结论：由于沿不同直线趋向原点时极限值不同，因此该二重极限不存在。

考试技巧：遇到 $\frac{xy}{x^2+y^2}$ 型，立刻尝试 $y=kx$。如果分子分母次数相同，大概率不存在。

题目 2#

判断极限是否存在：

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$

详细解析#

思路分析：这题比上题更隐蔽。分子次数（3次）高于分母中 $y^2$ 的次数（2次），但分母中 $x^4$ 是4次。沿直线 $y=kx$ 逼近时，分子是3次，分母是4次（主导项 $x^4$），极限会是0；但沿抛物线路径可能不同。

解答过程：

第一步：先沿直线 $y = kx$ 试探： $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot kx}{x^4 + k^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^3}{x^2(x^2+k^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{kx}{x^2+k^2} = 0$

沿任何直线极限都是 0，但这不足以证明二重极限存在！

第二步：沿抛物线 $y = x^2$ 逼近： $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot x^2}{x^4 + (x^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac{1}{2}$

结论：沿直线 $y=kx$ 极限为 0，沿抛物线 $y=x^2$ 极限为 $\frac{1}{2}$，两者不同，因此该二重极限不存在。

考试技巧：沿直线极限都相等时，不要轻易下结论”存在”！立刻换曲线路径（常用 $y=kx^2$ 或 $x=ky^2$）再试探。

题目 3#

证明下列极限存在并求值：

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$

详细解析#

思路分析：分子次数（3次）严格高于分母次数（2次）。这种情况下极限通常为 0。证明思路是用不等式放缩，把 $|f(x,y)|$ 放大为一个只与 $\sqrt{x^2+y^2}$ 有关且趋于 0 的表达式。

解答过程：

利用均值不等式 $|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$，或者直接利用 $|y| \leq \sqrt{x^2+y^2}$。

方法一（推荐）： $\left|\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\right| = |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \leq |y| \cdot 1 = |y|$

因为 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} |y| = 0$，由夹逼准则： $0 \leq \left|\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\right| \leq |y| \to 0$

所以 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$。

方法二（用极坐标）： 令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r \to 0$：

$\left|\frac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2}\right| = |r\cos^2\theta\sin\theta| \leq r \to 0$

结论：极限存在且等于 0。

考试技巧：证明存在时，核心目标是建立 $|f(x,y)| \leq g(\sqrt{x^2+y^2})$ 且 $g(r) \to 0$。常用工具：$|x| \leq \sqrt{x^2+y^2}$，$|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$，极坐标换元。

题目 4#

证明：

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$

详细解析#

思路分析：分子2次，分母1次，分子”次数优势”明显。考虑用 $|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$ 进行放缩。

解答过程：

$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| = \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{\frac{x^2+y^2}{2}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}$

令 $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$，则上式 $= \frac{\rho}{2}$。

当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$\rho \to 0$，所以 $\frac{\rho}{2} \to 0$。

由夹逼准则，原极限 $= 0$。

考试技巧：记住这个常用放缩链：$|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2} = \frac{\rho^2}{2}$，遇到分母有 $\rho$ 时可以直接得到 $\frac{\rho}{2}$。

题目 5#

设函数 $f(x,y) = \frac{x-y}{x+y}$，讨论在 $(0,0)$ 处：

1. 两个累次极限是否存在？若存在，值是多少？
2. 二重极限是否存在？

详细解析#

思路分析：这是累次极限与二重极限关系的经典考题。累次极限是”先固定一个变量，让另一个变量趋向，再让固定的变量趋向”，顺序不同结果可能不同。

解答过程：

（1）计算累次极限

• 先 $y \to 0$，再 $x \to 0$： $\lim_{x \to 0} \left[\lim_{y \to 0} \frac{x-y}{x+y}\right] = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

• 先 $x \to 0$，再 $y \to 0$： $\lim_{y \to 0} \left[\lim_{x \to 0} \frac{x-y}{x+y}\right] = \lim_{y \to 0} \frac{-y}{y} = -1$

两个累次极限都存在，但不相等（$1 \neq -1$）。

（2）判断二重极限

由于两个累次极限不相等，根据”若二重极限存在，则两个累次极限必存在且相等”的逆否命题，可以直接得出：

二重极限不存在。

补充验证：沿 $y=kx$ 路径，$\frac{x-kx}{x+kx} = \frac{1-k}{1+k}$，随 $k$ 变化，也证实二重极限不存在。

考试技巧：看到 $\frac{x-y}{x+y}$ 这种分子分母次数相同的分式，立刻想到累次极限可能不同，二重极限大概率不存在。

题目 6#

设函数 $f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处：

1. 是否连续？
2. 偏导数 $f_x(0,0)$、$f_y(0,0)$ 是否存在？
3. 是否可微？

详细解析#

思路分析：这是期末考试中最常出现的综合题型，把二重极限、连续性、偏导数、可微性四个概念串在一起考察。需要逐个击破。

解答过程：

（1）连续性

需要验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$。

这正是题目 4 的内容，已证： $\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2} \to 0$

所以极限为 0，等于函数值。$f$ 在 $(0,0)$ 处连续。 ✓

（2）偏导数

按定义： $f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0 - 0}{x} = 0$

同理 $f_y(0,0) = 0$。

两个偏导数都存在且等于 0。 ✓

（3）可微性

可微的定义要求： $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y) - f(0,0) - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = 0$

代入已知值（$f(0,0)=0, f_x=f_y=0$）： $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

这正是题目 1 的经典反例！沿 $\Delta y = k\Delta x$ 路径，极限为 $\frac{k}{1+k^2}$，随 $k$ 变化。

该极限不为 0（实际上不存在），因此 $f$ 在 $(0,0)$ 处不可微。 ✗

深刻结论：这个例子说明——连续 + 偏导数存在 $\nRightarrow$ 可微。这是多元函数与一元函数的本质区别！在一元函数中，“可导必连续”且”可导等价于可微”；但在多元中，偏导数存在只是”沿坐标轴方向可导”，远远不够。

题目 7#

求极限（若存在）：

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$

详细解析#

思路分析：分子3次，分母2次，分子次数高，猜测极限为0。极坐标换元是处理这种齐次型表达式的利器。

解答过程：

令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r \to 0$。

$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} = \frac{r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)}{r^2} = r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)$

由于 $|\cos^3\theta + \sin^3\theta| \leq |\cos\theta|^3 + |\sin\theta|^3 \leq 1 + 1 = 2$，所以：

$\left|r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)\right| \leq 2r \to 0$

由夹逼准则，极限存在且等于 0。

考试技巧：当分子分母都是 $x,y$ 的齐次多项式时，极坐标换元往往能把二元问题化为一元问题（让 $r \to 0$），同时把角度 $\theta$ 的有界性利用起来。