1.1 核心定义与运动学方程#

关键特征：加速度与位移成正比且方向相反，$a = -\omega^2 x$。（这是判断一个运动是否为简谐振动的充要条件）

1.2 特征量（三要素）#

周期与频率的关系： $T = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

1.3 旋转矢量法（辅助工具）#

用一个长度为 $A$ 的矢量以角速度 $\omega$ 绕原点逆时针旋转：

• 矢量端点在 $x$ 轴上的投影 = 简谐振动的位移
• 矢量与 $x$ 轴的夹角 = 相位 $(\omega t + \varphi)$

用途：直观比较两个同频率简谐振动的相位差。

1.4 常见的简谐振动系统#

2.1 能量公式#

重要结论：简谐振动中动能和势能相互转化，总能量守恒。一个周期内动能和势能的平均值相等，均为 $\frac{1}{4}kA^2$。

3.1 运动方程#

当存在与速度成正比的阻力 $f = -\gamma v$ 时： $m\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + kx = 0$

3.2 三种阻尼状态#

应用：汽车减震器、天平指针设计通常利用临界阻尼，使系统快速稳定。

4.1 受迫振动#

在外加周期性驱动力 $F = F_0\cos\omega t$ 作用下： $m\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos\omega t$

稳态解： $x = A\cos(\omega t + \varphi)$

其中振幅： $A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}$

4.2 共振#

当驱动力频率等于固有频率时： $\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

此时振幅达到最大： $A_{\max} = \frac{F_0}{2m\beta\omega_0}$

应用：乐器共鸣、桥梁共振破坏、核磁共振（NMR）等。

5.1 同方向同频率的合成#

两个简谐振动： $x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1), \quad x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$

合振动： $x = x_1 + x_2 = A\cos(\omega t + \varphi)$

其中： $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$ $\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$

特殊情况：

• 同相（$\Delta\varphi = 2k\pi$）：$A = A_1 + A_2$（加强）
• 反相（$\Delta\varphi = (2k+1)\pi$）：$A = |A_1 - A_2|$（减弱）

5.2 同方向不同频率的合成（拍）#

当 $A_1 = A_2 = A$，$\omega_1 \approx \omega_2$ 时： $x = 2A\cos\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)$

拍频： $\nu_{\text{拍}} = |\nu_2 - \nu_1|$

应用：乐器调音、多普勒雷达测速。

5.3 相互垂直的简谐振动合成#

$x = A_1\cos(\omega t + \varphi_1), \quad y = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$

合成轨迹为李萨如图形，形状取决于相位差 $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$：

应用：示波器测量频率和相位差。

【例题 1】基础：确定简谐振动的特征量#

题目：一质点做简谐振动，振幅 $A = 4\,\text{cm}$，周期 $T = 2\,\text{s}$。当 $t = 0$ 时，质点位于 $x = 2\,\text{cm}$ 处且向 $x$ 正方向运动。求振动方程。

解析：

Step 1：写出振动方程的一般形式。 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ （先写出标准形式，明确待求量：$\omega$ 和 $\varphi$）

Step 2：计算角频率。 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\,\text{rad/s}$ （由周期直接求角频率，这是系统的固有属性）

Step 3：利用初始条件求初相位 $\varphi$。 当 $t = 0$ 时，$x_0 = 2\,\text{cm}$： $2 = 4\cos\varphi \Rightarrow \cos\varphi = \frac{1}{2}$ （将已知条件代入方程，建立关于 $\varphi$ 的方程）

所以 $\varphi = \pm\frac{\pi}{3}$。

Step 4：利用速度条件确定 $\varphi$ 的符号。 $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ 当 $t = 0$ 时： $v_0 = -4\pi\sin\varphi > 0 \Rightarrow \sin\varphi < 0$ （速度向正方向意味着 $v_0 > 0$，由此判断 $\sin\varphi$ 的符号）

因此 $\varphi = -\frac{\pi}{3}$（或 $\frac{5\pi}{3}$）。

Step 5：写出最终振动方程。 $\boxed{x = 4\cos\left(\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\,\text{cm}}$ （将求得的参数代入标准形式，注意单位统一）

【例题 2】中档：弹簧振子与能量#

题目：一水平弹簧振子，$k = 25\,\text{N/m}$，$m = 1\,\text{kg}$，振幅 $A = 0.1\,\text{m}$。 (1) 求振动周期和总能量； (2) 当位移 $x = 0.05\,\text{m}$ 时，求动能和势能； (3) 动能和势能相等时，位移是多少？

解析：

(1) 周期和总能量

Step 1：求角频率。 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{25}{1}} = 5\,\text{rad/s}$ （利用弹簧振子角频率公式，$k$ 和 $m$ 是系统固有参数）

Step 2：求周期。 $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} \approx 1.26\,\text{s}$ （周期与角频率的基本关系）

Step 3：求总能量。 $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.1)^2 = 0.125\,\text{J}$ （总能量只与振幅和劲度系数有关，与位置无关）

(2) $x = 0.05\,\text{m}$ 时的能量

Step 1：求势能。 $E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.05)^2 = 0.03125\,\text{J}$ （势能只与当前位移有关）

Step 2：求动能。 $E_k = E - E_p = 0.125 - 0.03125 = 0.09375\,\text{J}$ （利用能量守恒，总能量减去势能得动能）

(3) 动能势能相等时的位移

Step 1：列等式。 $E_k = E_p \Rightarrow E_p = \frac{1}{2}E$ （总能量守恒，各占一半）

Step 2：求解。 $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}kA^2$ $x^2 = \frac{A^2}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}} = \pm\frac{0.1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.071\,\text{m}$ （注意位移有两个解，正负对称位置）

【例题 3】中档：旋转矢量法求相位差#

题目：两个同方向同频率的简谐振动： $x_1 = 0.05\cos\left(10t + \frac{3\pi}{4}\right)\,\text{m}$ $x_2 = 0.05\cos\left(10t + \frac{\pi}{4}\right)\,\text{m}$

求：(1) 合振动的振幅和初相位；(2) 若第三个振动 $x_3 = 0.05\cos(10t + \varphi_3)$ 使 $x_1 + x_3$ 振幅最大，$\varphi_3$ 应为多少？

解析：

(1) 合振动

Step 1：确定已知量。 $A_1 = A_2 = 0.05\,\text{m}$，$\varphi_1 = \frac{3\pi}{4}$，$\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$

Step 2：计算相位差。 $\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ （明确相位差，判断是加强还是减弱）

Step 3：求合振幅。 $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$ $= \sqrt{(0.05)^2 + (0.05)^2 + 2(0.05)^2\cos\frac{\pi}{2}}$ $= \sqrt{2 \times 0.0025} = 0.05\sqrt{2} \approx 0.071\,\text{m}$ （代入公式，注意 $\cos\frac{\pi}{2} = 0$，两矢量垂直）

Step 4：求初相位。 $\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$ $= \frac{0.05\sin\frac{3\pi}{4} + 0.05\sin\frac{\pi}{4}}{0.05\cos\frac{3\pi}{4} + 0.05\cos\frac{\pi}{4}}$ $= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{0} \to \infty$ （分母为零，说明 $\varphi = \frac{\pi}{2}$）

所以 $\varphi = \frac{\pi}{2}$，合振动： $\boxed{x = 0.05\sqrt{2}\cos\left(10t + \frac{\pi}{2}\right)\,\text{m}}$

(2) 使 $x_1 + x_3$ 振幅最大

Step 1：分析条件。 振幅最大要求两振动同相。 （同相时 $\cos\Delta\varphi = 1$，振幅直接相加达到最大）

Step 2：列方程。 $\varphi_3 = \varphi_1 + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad (k = 0, \pm1, \pm2, \dots)$ （初相位相差 $2\pi$ 整数倍即为同相）

取主值： $\boxed{\varphi_3 = \frac{3\pi}{4}}$

【例题 4】综合：竖直弹簧振子与能量守恒#

题目：一劲度系数为 $k$ 的轻弹簧上端固定，下端挂一质量为 $m$ 的物体。将物体从平衡位置向下拉 $A$ 后释放。 (1) 证明物体做简谐振动； (2) 求振动周期和总能量； (3) 若以平衡位置为原点、向下为正方向，写出振动方程。

解析：

(1) 证明简谐振动

Step 1：确定平衡位置。 设弹簧原长时物体位置为坐标原点，向下为正。平衡时弹簧伸长 $x_0$： $kx_0 = mg \Rightarrow x_0 = \frac{mg}{k}$ （平衡条件是弹力与重力平衡）

Step 2：建立运动方程。 以平衡位置为新原点，设物体偏离平衡位置的位移为 $x$（向下为正）。 物体所受合力： $F = mg - k(x_0 + x) = mg - kx_0 - kx = -kx$ （将 $kx_0 = mg$ 代入，重力与弹力中的常数项抵消）

Step 3：得出结论。 $m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ （符合简谐振动的动力学特征 $a = -\omega^2 x$）

因此物体做简谐振动，角频率 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。 （竖直弹簧振子与水平弹簧振子的角频率相同，只是平衡位置下移了）

(2) 周期和总能量

Step 1：周期。 $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ （与水平弹簧振子相同）

Step 2：总能量。 以平衡位置为重力势能和弹性势能零点，总能量： $E = \frac{1}{2}kA^2$ （竖直弹簧振子的总能量形式与水平情况完全相同，这是以平衡位置为势能零点的结果）

(3) 振动方程

Step 1：确定初始条件。 $t = 0$ 时，$x_0 = A$（向下拉到 $A$ 处），$v_0 = 0$。

Step 2：求振幅。 $A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} = A$ （振幅就是初始位移，因为初速度为零）

Step 3：求初相位。 $\tan\varphi = -\frac{v_0}{\omega x_0} = 0 \Rightarrow \varphi = 0$ （初速度为零，物体在正向最大位移处，初相位为零）

Step 4：写出方程。 $\boxed{x = A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}$ （以平衡位置为原点，向下为正方向）