习题9-2

第 1 题：求偏导数#

第 2 题：验证 $l\dfrac{\partial T}{\partial l}+g\dfrac{\partial T}{\partial g}=0$#

思路：先求两个一阶偏导，再代入验证。

于是：

相加得 $l\dfrac{\partial T}{\partial l}+g\dfrac{\partial T}{\partial g}=0$。证毕。

第 3 题：验证 $x^2\dfrac{\partial z}{\partial x}+y^2\dfrac{\partial z}{\partial y}=2z$#

思路：指数函数求偏导，注意链式法则中的符号。

因此：

证毕。

第 4 题：求 $f_x(x,1)$#

思路：观察发现代入 $y=1$ 后第二项系数 $(y-1)$ 为 $0$，可直接先代入再求导，避免复杂的复合函数求导。

令 $y=1$：

故：

另法（直接求偏导再代入）：
$f_x=1+(y-1)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-x/y}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x/y}}\cdot\dfrac{1}{y}$，代入 $y=1$ 后第二项同样为 $0$，结果 $f_x(x,1)=1$。

第 5 题：切线对 $x$ 轴的倾角#

思路：曲线由 $\begin{cases}z=\dfrac{x^2+y^2}{4}\\ y=4\end{cases}$ 给出，代入 $y=4$ 得 $z=\dfrac{x^2}{4}+4$。
在空间中 $y$ 恒为 $4$，曲线位于平面 $y=4$ 上，切线方向向量由 $(1,0,\frac{dz}{dx})$ 决定。

设倾角为 $\alpha$，则 $\tan\alpha = \dfrac{dz}{dx}=1$，故：

第 6 题：求二阶偏导数#

第 7 题：求指定点处的偏导数值#

逐次求导并代入：

1. $f_x = y^2+2zx \Rightarrow f_{xx}=2z \Rightarrow \boxed{f_{xx}(0,0,1)=2}$

2. $f_{xz}=\dfrac{\partial}{\partial z}(y^2+2zx)=2x \Rightarrow \boxed{f_{xz}(1,0,2)=2}$

3. $f_y = 2xy+z^2 \Rightarrow f_{yz}=2z \Rightarrow \boxed{f_{yz}(0,-1,0)=0}$

4. $f_z = 2yz+x^2 \Rightarrow f_{zz}=2y \Rightarrow f_{zzx}=0 \Rightarrow \boxed{f_{zzx}(2,0,1)=0}$

第 8 题：求三阶混合偏导#

先求一阶：

再求二阶：

最后三阶：

第 9 题：验证等式#

第5题中对Z的方程对X求偏导的详细推导过程#

以下是第5题中，对 $z=\dfrac{x^2+y^2}{4}$ 求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的完整推导过程。

一、明确求导对象#

已知曲面方程： $z = \frac{x^2+y^2}{4}$

可以拆写成： $z = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}y^2$

二、偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的定义#

对 $x$ 求偏导数，意味着：

将 $y$ 视为常数，只把 $z$ 看作关于 $x$ 的一元函数，然后对 $x$ 求普通导数。

因此： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}y^2\right)\quad\text{（其中 }y\text{ 为常数）}$

三、逐项求导#

四、合并结果#

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2} + 0 = \frac{x}{2}$

五、代入点 $(2,4,5)$#

将 $x=2$ 代入： $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(2,4,5)} = \frac{2}{2} = 1$

六、与倾角的关系#

在平面 $y=4$ 上，曲线可以看作 $z$ 关于 $x$ 的一元函数 $z(x)=\dfrac{x^2}{4}+4$。

切线对 $x$ 轴的倾角 $\alpha$，定义为切线与 $x$ 轴正方向所成的角，满足： $\tan\alpha = \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} = 1$

因此： $\alpha = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\quad(\text{即 }45^\circ)$

总结推导链#

$z = \frac{x^2+y^2}{4} \xrightarrow{\text{视 }y\text{ 为常数}} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{2} \xrightarrow{x=2} \frac{\partial z}{\partial x}=1 \xrightarrow{\tan\alpha=1} \alpha=\frac{\pi}{4}$

核心要点就一句话：求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时，$y$ 是”冻结”的常数，只对含 $x$ 的项求导。

第一大题的第三小题的详细推导过程#

以下是第1大题第(3)小题： $z = \sqrt{\ln(xy)}$ 的详细推导过程。

一、改写函数形式#

先将根号写成指数形式，方便使用链式法则： $z = \bigl[\ln(xy)\bigr]^{\frac{1}{2}}$

这是一个三层复合函数： $z = u^{\frac{1}{2}} \xrightarrow{u=\ln v} \xrightarrow{v=xy}$

二、对 $x$ 求偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$#

三、对 $y$ 求偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$#

由于函数 $z=\sqrt{\ln(xy)}$ 中，$x$ 和 $y$ 具有对称性（将 $x,y$ 互换函数形式不变），推导过程完全类似：

四、总结#

五、关键要点#

1. 链式法则：$\sqrt{\ln(xy)}$ 是”根号套对数套乘积”，必须逐层剥开
2. $\ln(xy)$ 的偏导：$\dfrac{\partial}{\partial x}\ln(xy) = \dfrac{1}{xy}\cdot y = \dfrac{1}{x}$，这是最容易出错的地方——别忘了乘以内层对 $x$ 的导数
3. 对称性：由于 $xy=yx$，两个偏导数形式对称，只需将 $x$ 换成 $y$ 即可

如需进一步验证，可以将结果代入全微分公式 $dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$ 检验一致性。