题（6）详细推导过程

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题（6）详细推导过程

2026-05-24

高等数学

多元函数

习题解析

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以下是第1大题第(6)小题： $z = (1+xy)^y$ 的详细推导过程。

一、函数类型判断#

$z=(1+xy)^y$ 是幂指函数：

底数 $(1+xy)$ 含 $x$
指数 $y$ 含 $y$

两个变量既在底数又在指数，不能直接用幂函数法则或指数函数法则，需要取对数转化为隐函数求导。

二、对 $x$ 求偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ #

思路：视 $y$ 为常数，此时函数变为”底数含 $x$ 、指数为常数 $y$ “的幂函数，直接用幂函数求导法则。

$z = (1+xy)^y$

令 $u = 1+xy$ ，则 $z = u^y$ （ $y$ 为常数）

$\frac{\partial z}{\partial x} = y\cdot u^{y-1}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

$= y\cdot(1+xy)^{y-1}\cdot y$

$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = y^2(1+xy)^{y-1}}$

三、对 $y$ 求偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ #

思路：视 $x$ 为常数，此时 $y$ 既在底数又在指数，必须用对数求导法。

第一步：两边取自然对数#

$\ln z = \ln\left[(1+xy)^y\right] = y\ln(1+xy)$

第二步：两边对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数）#

左边（隐函数求导）： $\frac{\partial}{\partial y}(\ln z) = \frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}$

右边（乘积法则： $y$ 与 $\ln(1+xy)$ 相乘）： $\frac{\partial}{\partial y}\left[y\ln(1+xy)\right] = 1\cdot\ln(1+xy) + y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln(1+xy)\right]$

其中： $\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln(1+xy)\right] = \frac{1}{1+xy}\cdot x = \frac{x}{1+xy}$

所以右边整体为： $\ln(1+xy) + y\cdot\frac{x}{1+xy} = \ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}$

第三步：整理求解 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ #

$\frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y} = \ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}$

两边同乘 $z$ ： $\frac{\partial z}{\partial y} = z\left[\ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}\right]$

将 $z=(1+xy)^y$ 代回：

$\boxed{\frac{\partial z}{\partial y} = (1+xy)^y\left[\ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}\right]}$

四、结果汇总#

偏导数	结果
$\dfrac{\partial z}{\partial x}$	$y^2(1+xy)^{y-1}$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}$	$(1+xy)^y\left[\ln(1+xy) + \dfrac{xy}{1+xy}\right]$

五、关键要点与易错警示#

要点	说明
对 $x$ 求偏导	$y$ 视为常数，按幂函数 $(u^n)'=nu^{n-1}u'$ 处理
对 $y$ 求偏导	$y$ 既在底数又在指数，必须取对数，不能直接用幂函数法则
常见错误	对 $y$ 求导时若直接用幂函数法则会得到 $y(1+xy)^{y-1}\cdot x$ ，这遗漏了指数中也含 $y$ 的导数贡献
对数求导法本质	把”幂指函数”变成”乘积函数”，从而可以用乘积法则