模块 1：牛顿运动定律（瞬时关系）#

常用分量式（平面直角坐标）： $F_x = ma_x = m\frac{d^2x}{dt^2}, \quad F_y = ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2}$

自然坐标系（圆周运动常用）： $F_n = ma_n = m\frac{v^2}{R}, \quad F_\tau = ma_\tau = m\frac{dv}{dt}$

模块 2：动量定理与守恒（力的时间累积）#

模块 3：功与能（力的空间累积）#

模块 4：角动量定理与守恒（转动效应）#

模块 5：质心运动定理（系统整体）#

例题 1：牛顿第二定律基础应用 —— 斜面下滑#

题目：质量为 $m$ 的物体从倾角 $\theta$ 的光滑斜面顶端静止下滑，求下滑加速度及到达底端（斜面长 $L$）时的速度。

解析过程：

1. 受力分析：物体受重力 $mg$（竖直向下）和斜面支持力 $N$（垂直斜面向上）。 （先画受力图，明确所有外力，这是动力学分析的第一步）

2. 建立坐标系：沿斜面向下为 $x$ 轴正方向，垂直斜面向上为 $y$ 轴正方向。 （选择坐标轴与运动方向一致，可简化分解，减少计算量）

3. 分解重力：

   • $x$ 方向：$mg\sin\theta$
   • $y$ 方向：$-mg\cos\theta$ （将不在坐标轴上的力分解到两个方向，使每个方向只处理共线力）

4. 列牛顿第二定律方程：

   • $x$ 方向：$mg\sin\theta = ma$ → $a = g\sin\theta$
   • $y$ 方向：$N - mg\cos\theta = 0$ → $N = mg\cos\theta$ （光滑斜面无摩擦力，$y$ 方向无加速度，合力为零；$x$ 方向合力产生加速度）

5. 求速度：由运动学公式 $v^2 = v_0^2 + 2aL$，且 $v_0=0$： $v = \sqrt{2gL\sin\theta}$ （已知加速度后，运动学公式衔接动力学结果，求运动状态）

例题 2：动量定理应用 —— 冲击力估算#

题目：质量 $m=0.5\,\text{kg}$ 的球以 $v_1=20\,\text{m/s}$ 垂直击中墙面，以 $v_2=15\,\text{m/s}$ 反向弹回，接触时间 $\Delta t=0.02\,\text{s}$。求墙对球的平均冲击力。

解析过程：

1. 设定正方向：取球初速度方向（朝向墙面）为正方向。 （一维问题先定正方向，将矢量运算转化为带符号的代数运算）

2. 确定初末动量：

   • 初动量：$p_1 = mv_1 = 0.5 \times 20 = 10\,\text{kg·m/s}$
   • 末动量：$p_2 = m(-v_2) = 0.5 \times (-15) = -7.5\,\text{kg·m/s}$ （反弹后速度与正方向相反，取负号；动量是矢量，方向必须体现）

3. 应用动量定理：$\bar{F}\cdot\Delta t = p_2 - p_1$ （平均力乘以作用时间等于动量变化量，这是动量定理的核心用法）

4. 代入计算： $\bar{F} = \frac{-7.5 - 10}{0.02} = \frac{-17.5}{0.02} = -875\,\text{N}$ （负号表示平均冲击力方向与初速度方向相反，即垂直墙面向外）

5. 结论：墙对球的平均冲击力大小为 $875\,\text{N}$，方向垂直墙面指向球外。 （冲击力远大于重力，说明碰撞问题中重力常可忽略，这是碰撞问题的常用近似）

例题 3：动能定理应用 —— 摩擦力做功#

题目：质量 $m=2\,\text{kg}$ 的物体以 $v_0=10\,\text{m/s}$ 在粗糙水平面上滑行，摩擦系数 $\mu=0.2$，求滑行距离。

解析过程：

1. 分析受力：竖直方向 $N=mg$，水平方向仅受摩擦力 $f=\mu N=\mu mg$（与运动方向相反）。 （先确定唯一做功的力是摩擦力，支持力和重力垂直于位移不做功）

2. 计算摩擦力做功：$W_f = -f\cdot s = -\mu mgs$ （摩擦力与位移方向相反，做负功；功是标量但有正负，负功表示消耗能量）

3. 应用动能定理：$W_{\text{合}} = \Delta E_k$ $-\mu mgs = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2$ （末动能为零，初动能为 $\frac{1}{2}mv_0^2$；合外力做功等于动能变化量）

4. 求解： $s = \frac{v_0^2}{2\mu g} = \frac{100}{2\times0.2\times9.8} \approx 25.5\,\text{m}$ （消去质量 $m$，说明滑行距离与质量无关，这是此类问题的有趣结论）

例题 4：机械能守恒应用 —— 单摆#

题目：长 $L$ 的轻绳悬挂小球，从水平位置静止释放，求最低点速度及绳中张力。

解析过程：

1. 判断守恒条件：只有重力做功（绳拉力始终垂直于速度，不做功），故机械能守恒。 （判断是否有非保守力做功是选择机械能守恒还是动能定理的关键）

2. 选零势能面：以最低点为重力势能零点。 （零势能面可任意选取，选最低点使末态势能为零，简化计算）

3. 列守恒方程： $E_{\text{初}} = E_{\text{末}}$ $mgL + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$ （初态：高度 $L$，速度为零；末态：高度为零，速度为 $v$）

4. 求速度： $v = \sqrt{2gL}$ （结果与质量无关，与自由落体下降高度 $L$ 的速度相同）

5. 求绳张力（牛顿第二定律）：在最低点，向心力由张力和重力的合力提供： $T - mg = m\frac{v^2}{L} = m\frac{2gL}{L} = 2mg$ （圆周运动动力学，指向圆心的力为正；$v^2/L$ 是向心加速度公式）

6. 结果：$T = 3mg$ （最低点张力是重力的3倍，这是单摆的经典结论）

例题 5：动量守恒与能量综合 —— 完全非弹性碰撞#

题目：光滑水平面上，质量 $m_1=3\,\text{kg}$ 以 $v_1=4\,\text{m/s}$ 运动，追上质量 $m_2=1\,\text{kg}$ 以 $v_2=2\,\text{m/s}$ 同向运动，碰撞后粘在一起。求共同速度及机械能损失。

解析过程：

1. 判断守恒条件：水平面光滑，系统水平方向不受外力，动量守恒。 （碰撞问题先看外力是否可忽略，光滑条件保证动量守恒成立）

2. 列动量守恒方程： $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$ （完全非弹性碰撞：碰后共速，系统总动量等于总质量乘以共同速度）

3. 求共同速度： $v = \frac{3\times4 + 1\times2}{3+1} = \frac{14}{4} = 3.5\,\text{m/s}$ （共同速度介于两物体原速度之间，符合物理直觉）

4. 计算机械能损失： $\Delta E = \left(\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\right) - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2$ $= \left(\frac{1}{2}\times3\times16+\frac{1}{2}\times1\times4\right) - \frac{1}{2}\times4\times12.25$ $= (24+2) - 24.5 = 1.5\,\text{J}$ （初态动能减去末态动能；损失的机械能转化为内能/形变能）

例题 6：角动量守恒应用 —— 行星运动（有心力场）#

题目：地球绕太阳近似做椭圆运动，近日点距离 $r_1$，速度 $v_1$；远日点距离 $r_2$，求远日点速度 $v_2$。

解析过程：

1. 分析力矩：太阳对地球的引力始终指向太阳（力心），力臂为零，故 $\vec{M}=0$。 （有心力的定义：力始终指向固定中心，力矩 $\vec{r}\times\vec{F}=0$ 因为 $\vec{r}$ 与 $\vec{F}$ 共线）

2. 应用角动量守恒：$L_1 = L_2$ （力矩为零则角动量守恒，这是天体运动的核心守恒律之一）

3. 列方程：$r_1 \cdot mv_1 = r_2 \cdot mv_2$ （角动量大小 $L=rp\sin\theta$，近日点和远日点速度与位矢垂直，$\sin\theta=1$；$m$ 可约去）

4. 求解： $v_2 = v_1\frac{r_1}{r_2}$ （远日点距离大，速度小；近日点距离小，速度大——开普勒第二定律的定量表达）