1.1 状态参量与平衡态#

• 状态参量：描述系统宏观状态的物理量（$p$ 压强、$V$ 体积、$T$ 温度）
• 平衡态：系统宏观性质不随时间变化，且不受外界影响
• 准静态过程：过程进行得无限缓慢，每一步都近似处于平衡态

1.2 理想气体状态方程#

$\boxed{pV = \nu RT = \frac{m}{M}RT = NkT}$

适用条件：理想气体（低压、高温下的实际气体可近似）

2.1 核心公式#

$\boxed{\Delta E = Q - W \quad \text{或} \quad Q = \Delta E + W}$

注意：不同教材符号约定可能不同，有些写为 $Q = \Delta E + A$（$A$ 为系统对外做功），也有写为 $\Delta E = Q + W$（$W$ 为外界对系统做功）。核心理解：能量守恒。

2.2 功的计算（准静态过程）#

$W = \int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V$

• 几何意义：$p-V$ 图上过程曲线下的面积
• 膨胀时 $V_2>V_1$，$W>0$（系统对外做功）
• 压缩时 $V_2<V_1$，$W<0$（外界对系统做功）

2.3 理想气体内能#

理想气体内能只与温度有关： $\boxed{E = \nu \cdot \frac{i}{2}RT = \frac{i}{2}pV}$

$\Delta E = \nu \cdot \frac{i}{2}R\Delta T$

适用条件：理想气体，且温度不太高（振动自由度未激发）

3.1 摩尔热容#

$\boxed{C_V = \frac{i}{2}R} \quad \text{（定容摩尔热容）}$

$\boxed{C_p = C_V + R = \frac{i+2}{2}R} \quad \text{（定压摩尔热容）}$

3.2 迈耶公式#

$\boxed{C_p - C_V = R}$

3.3 比热容比（绝热指数）#

$\boxed{\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i+2}{i}}$

4.1 等容过程（$V = \text{常量}$）#

$\boxed{W = 0}$ $\boxed{Q = \Delta E = \nu C_V \Delta T = \frac{i}{2}\nu R\Delta T = \frac{i}{2}V\Delta p}$

特点：不对外做功，吸收的热量全部转化为内能增量。

4.2 等压过程（$p = \text{常量}$）#

$\boxed{W = p(V_2-V_1) = \nu R\Delta T}$ $\boxed{\Delta E = \nu C_V \Delta T}$ $\boxed{Q = \nu C_p \Delta T = \Delta E + W}$

特点：吸收的热量一部分用于增加内能，一部分用于对外做功。

4.3 等温过程（$T = \text{常量}$）#

$\boxed{\Delta E = 0}$ $\boxed{Q = W = \nu RT\ln\frac{V_2}{V_1} = \nu RT\ln\frac{p_1}{p_2}}$

特点：内能不变，吸收的热量全部用于对外做功（或外界做功全部转化为热量放出）。

4.4 绝热过程（$Q = 0$）#

$\boxed{Q = 0}$ $\boxed{\Delta E = -W \quad \text{或} \quad W = -\Delta E = -\nu C_V\Delta T}$

绝热过程方程（泊松公式）： $pV^\gamma = \text{常量}, \quad TV^{\gamma-1} = \text{常量}, \quad \frac{p^{\gamma-1}}{T^\gamma} = \text{常量}$

特点：系统与外界无热量交换，对外做功以内能减少为代价。

📊 四种过程对比表#

5.1 一般循环#

系统经历一系列变化后回到初始状态： $\boxed{\Delta E = 0 \quad \Rightarrow \quad Q_{\text{净}} = W_{\text{净}}}$

• 正循环（热机）：$W_{\text{净}} > 0$，系统对外做功
• 逆循环（制冷机）：$W_{\text{净}} < 0$，外界对系统做功

5.2 热机效率#

$\boxed{\eta = \frac{W_{\text{净}}}{Q_1} = \frac{Q_1 - |Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{|Q_2|}{Q_1}}$

5.3 制冷系数#

$\boxed{\varepsilon = \frac{Q_2}{|W_{\text{净}}|} = \frac{Q_2}{|Q_1| - Q_2}}$

6.1 卡诺热机（两个等温 + 两个绝热）#

$\boxed{\eta_{\text{卡诺}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}}$

6.2 卡诺制冷机#

$\boxed{\varepsilon_{\text{卡诺}} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}}$

重要结论：卡诺循环效率只与高低温热源温度有关，与工作物质无关。卡诺循环是理论上效率最高的循环。

7.1 两种表述#

• 开尔文表述：不可能从单一热源吸热使之完全变为有用功而不产生其他影响。
• 克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。

实质：揭示了自然过程的方向性——不可逆性。

7.2 熵与熵增原理#

克劳修斯熵公式（可逆过程）： $\boxed{\Delta S = \int \frac{\mathrm{d}Q_{\text{可逆}}}{T}}$

理想气体可逆过程的熵变： $\Delta S = \nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1} + \nu R\ln\frac{V_2}{V_1}$

熵增原理（孤立系统）： $\boxed{\Delta S_{\text{孤立}} \geq 0}$

等号：可逆过程；大于号：不可逆过程。

例题1：等压加热过程#

题目：$2\ \text{mol}$ 理想气体（刚性双原子）在等压过程中温度从 $300\ \text{K}$ 升至 $500\ \text{K}$，求：(1) 内能增量；(2) 对外做功；(3) 吸收热量。

解析：

• (1) $\Delta E = \nu C_V\Delta T = 2 \times \frac{5}{2}R \times (500-300) = 5 \times 8.314 \times 200 = 8314\ \text{J}$
  • （刚性双原子 $i=5$，$C_V=\frac{5}{2}R$）
• (2) $W = \nu R\Delta T = 2 \times 8.314 \times 200 = 3325.6\ \text{J}$
  • （等压过程做功公式）
• (3) $Q = \nu C_p\Delta T = 2 \times \frac{7}{2}R \times 200 = 7 \times 8.314 \times 200 = 11639.6\ \text{J}$
  • （或用 $Q = \Delta E + W = 8314 + 3325.6 = 11639.6\ \text{J}$ 验证）

例题2：绝热膨胀过程#

题目：$1\ \text{mol}$ 单原子理想气体从 $p_1=2\times10^5\ \text{Pa}$、$V_1=2\times10^{-3}\ \text{m}^3$ 绝热膨胀至 $V_2=4\times10^{-3}\ \text{m}^3$，求末态压强和温度，以及对外做功。

解析：

• 单原子 $\gamma = \frac{5}{3}$
• 由 $p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$： $p_2 = p_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 2\times10^5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5/3} \approx 7.94\times10^4\ \text{Pa}$
• 初温 $T_1 = \frac{p_1V_1}{\nu R} = \frac{2\times10^5 \times 2\times10^{-3}}{8.314} \approx 48.1\ \text{K}$
• 由 $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$： $T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{2/3} = 48.1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3} \approx 30.3\ \text{K}$
• 对外做功：$W = -\Delta E = -\nu C_V(T_2-T_1) = -\frac{3}{2} \times 8.314 \times (30.3-48.1) \approx 221.7\ \text{J}$

例题3：卡诺热机效率#

题目：一卡诺热机工作在 $600\ \text{K}$ 和 $300\ \text{K}$ 两个热源之间，每次循环从高温热源吸热 $1000\ \text{J}$，求：(1) 效率；(2) 对外做功；(3) 向低温热源放热。

解析：

• (1) $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{600} = 0.5 = 50\%$
• (2) $W = \eta Q_1 = 0.5 \times 1000 = 500\ \text{J}$
• (3) $|Q_2| = Q_1 - W = 1000 - 500 = 500\ \text{J}$

例题4：热力学第一定律综合#

题目：某理想气体经历如图所示的循环过程 $A\to B\to C\to A$，其中 $A\to B$ 为等压过程，$B\to C$ 为等容过程，$C\to A$ 为等温过程。已知 $p_A = 2p_0$、$V_A = V_0$、$T_A = T_0$，$V_B = 2V_0$。求循环效率。

解析思路：

• 先利用状态方程确定各点状态参量
• 分别计算三个过程的 $Q$、$W$、$\Delta E$
• 计算净功和总吸热，代入效率公式
• 注意：只有吸热过程的热量才计入 $Q_1$