【零基础】例题 1：用定义验证相似#

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，求 $B = P^{-1}AP$，并验证 $A$ 与 $B$ 是否相似。

详细解析：

第一步：求 $P^{-1}$ $|P| = 1 \times 1 - 1 \times 0 = 1 \neq 0$ （先算行列式，确认 $P$ 可逆，这是相似定义的前提）

$P^{-1} = \frac{1}{|P|}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ （用二阶矩阵求逆公式：主对角线互换，副对角线变号，再除以行列式）

第二步：计算 $P^{-1}A$ $P^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times1+(-1)\times0 & 1\times2+(-1)\times3 \\ 0\times1+1\times0 & 0\times2+1\times3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ （矩阵乘法，按行乘列逐元素计算）

第三步：计算 $B = (P^{-1}A)P$ $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times1+(-1)\times0 & 1\times1+(-1)\times1 \\ 0\times1+3\times0 & 0\times1+3\times1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ （继续矩阵乘法，注意结合律：先算 $P^{-1}A$ 再乘 $P$，减少计算量）

第四步：验证特征值相同 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 \\ 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3) = 0 \Rightarrow \lambda_1=1, \lambda_2=3$ （计算 $A$ 的特征多项式，用对角线法则）

$|\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 \\ 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3) = 0 \Rightarrow \lambda_1=1, \lambda_2=3$ （计算 $B$ 的特征多项式，对角矩阵的特征值就是对角元）

结论：$A$ 与 $B$ 相似，且 $B$ 是对角矩阵，说明 $A$ 可对角化。$\blacksquare$

【基础】例题 2：利用性质判断相似（否定法）#

题目：判断下列矩阵是否相似： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

详细解析：

第一步：比较迹 $\text{tr}(A) = 1 + 2 = 3, \quad \text{tr}(B) = 1 + 3 = 4$ （迹是主对角线元素之和，相似矩阵迹必须相同）

第二步：得出结论 因为 $\text{tr}(A) \neq \text{tr}(B)$， （相似矩阵的必要条件不满足）

结论：$A$ 与 $B$ 不相似。$\blacksquare$

【基础】例题 3：利用性质求参数#

题目：已知 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 与 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ 相似，求 $b$。

详细解析：

第一步：利用”相似矩阵迹相同” $\text{tr}(A) = 2 + 2 = 4, \quad \text{tr}(B) = 3 + b$ （迹是最容易计算的相似不变量，优先使用）

由 $\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$： $4 = 3 + b \Rightarrow b = 1$ （建立方程直接求解）

第二步：验证（利用行列式） $|A| = 2\times2 - 1\times1 = 3, \quad |B| = 3\times b = 3\times1 = 3$ （用第二个不变量验证答案的正确性，确保自洽）

结论：$b = 1$。$\blacksquare$

【进阶】例题 4：求相似变换矩阵 $P$（对角化）#

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，求可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

详细解析：

第一步：求特征值 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-4 & -2 \\ -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-4)(\lambda-3) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda-2)(\lambda-5) = 0$ （展开特征多项式，因式分解求根）

$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 5$ （二阶矩阵有两个不同特征值，必可对角化）

第二步：求 $\lambda_1 = 2$ 对应的特征向量 解 $(2I - A)X = 0$： $2I - A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \div (-2)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2+r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ （做行变换化为行阶梯形，求齐次方程组的基础解系）

得 $x_1 + x_2 = 0$，令 $x_2 = 1$，则 $x_1 = -1$。 （自由变量取1，得到最简单的整数解）

$\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （这是 $\lambda_1=2$ 的一个特征向量）

第三步：求 $\lambda_2 = 5$ 对应的特征向量 解 $(5I - A)X = 0$： $5I - A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2+r_1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ （同样做行变换）

得 $x_1 - 2x_2 = 0$，令 $x_2 = 1$，则 $x_1 = 2$。 （自由变量取1）

$\xi_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ （这是 $\lambda_2=5$ 的一个特征向量）

第四步：构造 $P$ $P = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ （将特征向量按列排列，顺序对应特征值在对角矩阵中的顺序）

第五步：写出对角矩阵 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ （对角元就是对应的特征值，顺序与 $P$ 中特征向量一致）

验证（可选但建议做）： $|P| = -1\times1 - 2\times1 = -3 \neq 0$ （确认 $P$ 可逆）

$\text{tr}(A) = 7, \quad \text{tr}(\Lambda) = 2+5 = 7 \checkmark$ （快速验证迹相同，增加信心）

结论：$P = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$。$\blacksquare$

【进阶】例题 5：判断能否对角化（有重根情形）#

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$，判断 $A$ 是否可相似对角化；若可以，求出 $P$。

详细解析：

第一步：求特征值 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-3 & -1 & 1 \\ 1 & \lambda-1 & -1 \\ -2 & -2 & \lambda \end{vmatrix}$ （写出三阶特征矩阵）

展开计算（按第一行展开）： $= (\lambda-3)\begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & \lambda-1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}$ （按第一行用代数余子式展开）

$= (\lambda-3)[(\lambda-1)\lambda - 2] + [\lambda - 2] + [-2 + 2(\lambda-1)]$ （计算每个二阶行列式）

$= (\lambda-3)(\lambda^2-\lambda-2) + (\lambda-2) + (2\lambda-4)$ （化简每个括号）

$= (\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda+1) + 3\lambda - 6$ （将二次式因式分解：$\lambda^2-\lambda-2 = (\lambda-2)(\lambda+1)$）

$= (\lambda-2)[(\lambda-3)(\lambda+1) + 3] = (\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda) = (\lambda-2)\lambda(\lambda-2) = \lambda(\lambda-2)^2$ （提取公因式 $(\lambda-2)$，继续化简）

$\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = 2 \text{（二重根）}$ （特征值：一个单根0，一个二重根2）

第二步：判断 $\lambda = 2$ 的几何重数 解 $(2I - A)X = 0$： $2I - A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2+r_1, r_3-2r_1} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{(-1)\times r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ （做行变换化为行阶梯形，观察秩）

$r(2I - A) = 1$，未知数个数 $n = 3$。 （几何重数 = $n - r(2I-A) = 3 - 1 = 2$）

基础解系所含向量个数 = $3 - 1 = 2$。 （二重特征值有2个线性无关的特征向量，满足可对角化条件）

第三步：求特征向量

对于 $\lambda_1 = 0$： 解 $(0I - A)X = 0$，即 $AX = 0$： $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ （经过一系列行变换，具体：$r_1\leftrightarrow r_2$ 后 $r_1\times(-1)$，再消元）

得 $x_1 = \frac{1}{2}x_3, x_2 = -\frac{1}{2}x_3$，令 $x_3 = 2$： $\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ （取 $x_3=2$ 消去分数，得到整数向量）

对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = 2$： 由行阶梯形 $x_1 + x_2 - x_3 = 0$，自由变量为 $x_2, x_3$：

• 令 $x_2=1, x_3=0$：$x_1=-1$，得 $\xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
• 令 $x_2=0, x_3=1$：$x_1=1$，得 $\xi_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （两个自由变量分别取 $(1,0)$ 和 $(0,1)$，得到两个线性无关的特征向量）

第四步：构造 $P$ 并验证 $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ （三个特征向量按列排列）

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ （对角元为 $0, 2, 2$，顺序对应）

结论：$A$ 可以相似对角化，$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。$\blacksquare$

【考试】例题 6：不可对角化的经典反例#

题目：证明 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 不能相似对角化。

详细解析：

第一步：求特征值 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2 = 0$ （上三角矩阵的特征值就是对角元）

$\lambda_1 = \lambda_2 = 2 \text{（二重特征值）}$ （只有一个特征值2，代数重数为2）

第二步：求几何重数 解 $(2I - A)X = 0$： $2I - A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ （直接代入）

$r(2I - A) = 1$，基础解系个数 = $2 - 1 = 1$。 （几何重数 = 1）

第三步：判断是否可对角化 代数重数（2）$\neq$ 几何重数（1）。 （可对角化的充要条件：每个特征值的代数重数 = 几何重数）

结论：$A$ 只有 1个 线性无关的特征向量，不够2个，因此不能相似对角化。$\blacksquare$

核心考点：这个矩阵叫Jordan块，是”有重根但不可对角化”的标准反例。它的特点是：$(A - 2I) \neq O$ 但 $(A - 2I)^2 = O$。

【考试】例题 7：利用相似求矩阵高次幂#

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$（同例题4），求 $A^{10}$。

详细解析：

第一步：利用例题4的结果 已知 $P = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$P^{-1}AP = \Lambda = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$。 （直接引用已求出的对角化结果，避免重复计算）

第二步：推导 $A^n$ 的公式 由 $P^{-1}AP = \Lambda$，得 $A = P\Lambda P^{-1}$。 （两边左乘 $P$、右乘 $P^{-1}$，解出 $A$）

$A^n = (P\Lambda P^{-1})^n = P\Lambda P^{-1} \cdot P\Lambda P^{-1} \cdots P\Lambda P^{-1} = P\Lambda^n P^{-1}$ （中间 $P^{-1}P = I$ 全部抵消，只剩首尾和中间的 $\Lambda^n$）

第三步：计算 $\Lambda^{10}$ $\Lambda^{10} = \begin{pmatrix} 2^{10} & 0 \\ 0 & 5^{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 9765625 \end{pmatrix}$ （对角矩阵的幂就是对角元分别取幂，这是相似对角化的最大威力）

第四步：计算 $P^{-1}$ $|P| = -1 - 2 = -3$ $P^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ （用伴随矩阵法求逆）

第五步：计算 $A^{10} = P\Lambda^{10}P^{-1}$ $P\Lambda^{10} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 9765625 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1024 & 19531250 \\ 1024 & 9765625 \end{pmatrix}$ （先算前两个矩阵的乘积，简化计算）

$A^{10} = \begin{pmatrix} -1024 & 19531250 \\ 1024 & 9765625 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{1024}{3} + \frac{19531250}{3} & -\frac{2048}{3} + \frac{19531250}{3} \\ -\frac{1024}{3} + \frac{9765625}{3} & \frac{2048}{3} + \frac{9765625}{3} \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 19532274 & 19529202 \\ 9764601 & 9767673 \end{pmatrix}$ （逐项计算，注意分数运算）

结论： $A^{10} = \begin{pmatrix} 6510758 & 6509734 \\ 3254867 & 3255891 \end{pmatrix}$ （验证：$\text{tr}(A^{10}) = 6510758 + 3255891 = 9766649 = 2^{10} + 5^{10} = 1024 + 9765625 = 9766649$ ✓）$\blacksquare$

【考试】例题 8：实对称矩阵的正交相似对角化#

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，求正交矩阵 $Q$ 使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵。

详细解析：

第一步：求特征值 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$ （观察矩阵特点：对角元相同，非对角元相同）

将第2、3行加到第1行： $= \begin{vmatrix} \lambda-4 & \lambda-4 & \lambda-4 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-4)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$ （提取第一行公因子 $(\lambda-4)$）

$= (\lambda-4)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-4)(\lambda-1)^2$ （后两行分别加第一行，化为上三角）

$\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = 1$ （实对称矩阵的特征值都是实数）

第二步：求 $\lambda_1 = 4$ 的特征向量 解 $(4I - A)X = 0$： $4I - A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ （经过消元：$r_1+r_2+r_3$ 得全1行，再消去）

得 $x_1 = x_3, x_2 = x_3$，令 $x_3 = 1$： $\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （简单对称的向量）

单位化： $\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （正交对角化要求特征向量单位化）

第三步：求 $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$ 的特征向量 解 $(I - A)X = 0$： $I - A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ （三行完全相同，秩为1）

得 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，基础解系： $\xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （标准取法：令 $(x_2,x_3)=(1,0)$ 和 $(0,1)$）

第四步：正交化（Schmidt 正交化） $\xi_2, \xi_3$ 线性无关但不正交，需要正交化。 （实对称矩阵不同特征值的特征向量已正交，但同一特征值的特征向量不一定正交）

取 $\beta_2 = \xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\beta_3 = \xi_3 - \frac{(\xi_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2$ （Schmidt 正交化公式）

计算内积： $(\xi_3, \beta_2) = (-1)\times(-1) + 0\times1 + 1\times0 = 1$ $(\beta_2, \beta_2) = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 2$

$\beta_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ （或乘以2取 $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$，不影响方向）

第五步：单位化所有向量 $\eta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\|\beta_3\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ $\eta_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

第六步：构造正交矩阵 $Q$ $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$ （正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，所以 $Q^TAQ = Q^{-1}AQ = \Lambda$）

$Q^TAQ = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ （对角元为特征值）

结论：正交矩阵 $Q$ 如上，$Q^TAQ = \text{diag}(4,1,1)$。$\blacksquare$