一、一句话定义#

对于 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$，如果存在一个非零向量 $\boldsymbol{v}$ 和一个数 $\lambda$，使得：

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}$

那么 $\lambda$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$\boldsymbol{v}$ 称为属于 $\lambda$ 的特征向量。

二、通俗拆解：到底在说什么？#

想象矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一台**“变形机器”。你把任意一个向量 $\boldsymbol{x}$ 丢进去，出来的就是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$——通常这个向量会被旋转、拉伸、扭曲**，变得面目全非。

但总有一些”特殊”的向量，它们经过这台机器后，方向居然完全没变（可能正向、可能反向），只是长度被乘了一个倍数 $\lambda$。

• 特征向量 $\boldsymbol{v}$：那些”宁死不改方向”的特殊向量
• 特征值 $\lambda$：这台机器对该特征向量的”伸缩系数”

如果 $\lambda = 2$，说明特征向量被拉长为原来的 2 倍；如果 $\lambda = -1$，说明方向反转；如果 $\lambda = 0$，说明被压扁成了零向量。

三、核心内涵：三个层次的深刻理解#

四、与相关概念的区别（初学者易混点）#

关键记忆点：特征值是矩阵的”指纹”（相似矩阵指纹相同），特征向量是”指纹对应的纹路走向”（随坐标系而变）。

五、在学科体系中的位置：承上启下的枢纽#

1
线性方程组 → 矩阵运算 → 向量空间 → 【特征值与特征向量】 → 矩阵对角化
2
                                                              ↓
3
                                        微分方程 → 动力系统 → 稳定性分析
4
                                                              ↓
5
                                        数据科学：PCA主成分分析、谱聚类
6
                                        物理：量子力学本征态、振动模式
7
                                        工程：控制理论、图论谱分析

它是线性代数从”静态计算”走向”动态分析”的分水岭。在此之前，我们主要解方程；在此之后，我们开始分析系统的演化、稳定性和内在结构。

六、生活化类比#

七、给初学者的一句忠告#

初学特征值时，不要死磕行列式计算，先建立几何直觉：

特征向量 = 变换中的”硬骨头”（方向不变） 特征值 = 这台机器对硬骨头的”态度”（拉伸还是压缩）

当你看到 $|\lambda\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}| = 0$ 这个方程时，不要只把它当作一个计算步骤——它是在问：“这台变形机器，在哪个方向上只是在做简单的缩放？”

先理解”为什么要有这个概念”，再熟练”怎么算”，线性代数的大门就会真正向你敞开。

例题 1：零基础 — 先理解”特征”是什么意思#

题目： 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，向量 $\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
验证 $\boldsymbol{\xi}$ 是否是 $A$ 的特征向量？如果是，对应的特征值是多少？

解析：

根据定义，若 $A\boldsymbol{\xi} = \lambda\boldsymbol{\xi}$（即矩阵作用在这个向量上，只相当于把这个向量”拉长/缩短”了 $\lambda$ 倍，方向不变），则 $\boldsymbol{\xi}$ 是特征向量，$\lambda$ 是特征值。

第一步：计算 $A\boldsymbol{\xi}$

$A\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times1 + 1\times1 \\ 1\times1 + 2\times1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

（计算矩阵与向量的乘法，看看矩阵作用后的结果是什么）

第二步：观察结果

$A\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3\boldsymbol{\xi}$

（检查结果向量是否是原向量的某个倍数）

第三步：下结论

因为 $A\boldsymbol{\xi} = 3\boldsymbol{\xi}$，满足特征向量的定义式。

（对照定义 $A\boldsymbol{\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi}$ 进行判定）

结论： $\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 是 $A$ 的特征向量，对应的特征值 $\lambda = 3$。

💡 直观理解：矩阵 $A$ 作用在 $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ 上，并没有改变它的方向（还是沿着 $y=x$ 这条线），只是把它拉长了 3 倍。这就是”特征”的含义——这个方向是矩阵的”固有属性”。

例题 2：基础计算 — 2×2 矩阵求特征值与特征向量#

题目： 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ 的全部特征值与特征向量。

解析：

第一步：构造特征方程 $|A - \lambda E| = 0$

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$

（特征值 $\lambda$ 的核心条件：$(A-\lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 有非零解，即系数矩阵行列式为零）

第二步：计算行列式

$(4-\lambda)(3-\lambda) - 1\times2 = 0$

（按二阶行列式计算公式展开）

$\lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = 0$

（整理成标准多项式形式，便于求解）

$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$

（合并常数项）

第三步：解特征方程

$(\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$

（因式分解求根）

得特征值：$\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 5$

（得到矩阵的两个特征值）

求 $\lambda_1 = 2$ 对应的特征向量：

第四步：代入 $\lambda_1 = 2$，解 $(A - 2E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$

$A - 2E = \begin{pmatrix} 4-2 & 1 \\ 2 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

（将 $\lambda=2$ 代入 $A-\lambda E$ 得到具体矩阵）

第五步：对系数矩阵做初等行变换

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

（用行变换化为行阶梯形，求齐次方程组的基础解系）

第六步：写出同解方程组

$2x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2x_1$

（由非零行得到约束关系，确定自由未知量）

取自由未知量 $x_1 = 1$，则 $x_2 = -2$。

（自由未知量取简单值，求出一个基础解系向量）

基础解系：$\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

（得到特征向量的”代表”）

第七步：写出全部特征向量

属于 $\lambda_1 = 2$ 的全部特征向量为 $k_1\boldsymbol{\xi}_1 = k_1\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$，其中 $k_1 \neq 0$。

（特征向量不唯一，同一个特征值下的所有特征向量构成一个一维空间，要注明 $k\neq 0$）

求 $\lambda_2 = 5$ 对应的特征向量：

第八步：代入 $\lambda_2 = 5$，解 $(A - 5E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$

$A - 5E = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2+2r_1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

（重复上述流程：代入→行变换→求基础解系）

同解方程：$-x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = x_1$

（得到变量间的约束关系）

取 $x_1 = 1$，得 $\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

（求出另一个基础解系向量）

属于 $\lambda_2 = 5$ 的全部特征向量为 $k_2\boldsymbol{\xi}_2 = k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $k_2 \neq 0$。

（写出完整的特征向量集合）

最终答案：

• 特征值 $\lambda_1 = 2$，对应特征向量 $k_1\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\ (k_1\neq 0)$
• 特征值 $\lambda_2 = 5$，对应特征向量 $k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\ (k_2\neq 0)$

例题 3：基础计算 — 3×3 矩阵（考试最常见体型）#

题目： 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解析：

第一步：写特征多项式 $|A - \lambda E|$

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 2 \\ 2 & 1-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

（三阶矩阵特征值计算的核心起点）

第二步：观察行列式特点，用行/列变换简化

各行元素之和均为 $5-\lambda$。将第2、3列都加到第1列：

$= \begin{vmatrix} 5-\lambda & 2 & 2 \\ 5-\lambda & 1-\lambda & 2 \\ 5-\lambda & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

（利用”各行和相等”的技巧提取公因子，这是这类矩阵的经典处理方法）

$= (5-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

（提取第1列的公因子 $(5-\lambda)$，降阶简化）

第三步：继续化简行列式

$r_2-r_1,\ r_3-r_1$：

$= (5-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -1-\lambda \end{vmatrix}$

（化为上三角或按行展开的标准形式）

$= (5-\lambda)(-1-\lambda)^2 = (5-\lambda)(\lambda+1)^2$

（按第1列展开，得到特征多项式的因式分解形式）

第四步：求特征值

$(5-\lambda)(\lambda+1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 5,\ \lambda_2 = \lambda_3 = -1$

（解出根，注意 $\lambda=-1$ 是二重特征值）

求 $\lambda_1 = 5$ 的特征向量：

第五步：解 $(A - 5E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$

$A - 5E = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

（代入具体数值）

$\xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

（通过初等行变换化为行最简形，过程略）

同解方程组：$x_1 = x_3,\ x_2 = x_3$

（读出约束条件）

取 $x_3 = 1$，得 $\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

（自由未知量取1，得到一个基础解系向量）

全部特征向量：$k_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\ (k_1\neq 0)$

求 $\lambda_2 = \lambda_3 = -1$ 的特征向量：

第六步：解 $(A + E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$

$A + E = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

（代入 $\lambda=-1$，注意此时矩阵秩为1，自由未知量有2个）

同解方程：$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

（只有一个独立方程，说明解空间是二维的）

取自由未知量 $(x_2, x_3)$：

• 令 $x_2=1, x_3=0$，得 $x_1=-1$，即 $\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
• 令 $x_2=0, x_3=1$，得 $x_1=-1$，即 $\boldsymbol{\xi}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

（二重特征值对应两个线性无关的特征向量，这是矩阵可对角化的关键条件）

全部特征向量：$k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$（$k_2, k_3$ 不全为零）

（两个线性无关特征向量的线性组合，张成特征子空间）

例题 4：进阶 — 特征值性质的综合运用#

题目： 设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, -3$。求：

1. $|A|$
2. $\mathrm{tr}(A)$
3. $A^2 + 2A + E$ 的特征值
4. $A^{-1}$ 的特征值
5. $A^*$（伴随矩阵）的特征值

解析：

核心公式回顾（必须熟记）：

• 特征值之和 = 主对角线元素之和（迹）：$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$
• 特征值之积 = 行列式：$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|$
• 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则：
  • $A^k$ 的特征值是 $\lambda^k$
  • $f(A)$ 的特征值是 $f(\lambda)$（$f$ 为多项式）
  • $A^{-1}$ 的特征值是 $\frac{1}{\lambda}$（$\lambda\neq 0$）
  • $A^*$ 的特征值是 $\frac{|A|}{\lambda}$（$\lambda\neq 0$）

第(1)问：求 $|A|$

$|A| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 1 \times 2 \times (-3) = -6$

（利用”特征值之积等于行列式”的性质，直接相乘）

第(2)问：求 $\mathrm{tr}(A)$

$\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1 + 2 + (-3) = 0$

（利用”特征值之和等于迹”的性质，直接相加）

第(3)问：求 $A^2 + 2A + E$ 的特征值

设 $f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

（将矩阵多项式对应到普通多项式）

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的特征值。

（这是矩阵多项式特征值的核心定理：把矩阵代入多项式，相当于把特征值代入同一多项式）

• $\lambda=1$ 时：$f(1) = (1+1)^2 = 4$
• $\lambda=2$ 时：$f(2) = (2+1)^2 = 9$
• $\lambda=-3$ 时：$f(-3) = (-3+1)^2 = 4$

（逐个代入计算）

所以 $A^2+2A+E$ 的特征值为 $4, 9, 4$。

第(4)问：求 $A^{-1}$ 的特征值

因为 $|A| = -6 \neq 0$，所以 $A$ 可逆。

（先验证可逆性，这是求逆矩阵特征值的前提）

$A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{\lambda}$：

$\frac{1}{1}=1,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$

（利用逆矩阵特征值的倒数关系）

第(5)问：求 $A^*$ 的特征值

由 $A^* = |A|A^{-1} = -6A^{-1}$

（利用伴随矩阵与逆矩阵的关系公式）

$A^*$ 的特征值为 $|A| \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{|A|}{\lambda}$：

$\frac{-6}{1}=-6,\quad \frac{-6}{2}=-3,\quad \frac{-6}{-3}=2$

（将伴随矩阵转化为行列式与逆矩阵的乘积，再利用已知结论）

例题 5：考试水平 — 已知特征向量反求参数#

题目： 已知 $\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 是矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{pmatrix}$ 的一个特征向量。

1. 求参数 $a, b$ 及 $\boldsymbol{\xi}$ 对应的特征值 $\lambda$；
2. 问 $A$ 能否相似对角化？说明理由。

解析：

第(1)问：求 $a, b, \lambda$

第一步：利用特征向量定义列方程

因为 $\boldsymbol{\xi}$ 是 $A$ 的特征向量，所以 $A\boldsymbol{\xi} = \lambda\boldsymbol{\xi}$。

（将已知条件翻译为定义等式，这是处理”已知特征向量反求参数”问题的标准切入点）

第二步：计算 $A\boldsymbol{\xi}$

$A\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1-2 \\ 5+a-3 \\ -1+b+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2+a \\ 1+b \end{pmatrix}$

（按矩阵乘法规则逐行计算，保留参数）

第三步：写出 $\lambda\boldsymbol{\xi}$

$\lambda\boldsymbol{\xi} = \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \\ -\lambda \end{pmatrix}$

（将特征值定义式的右边展开）

第四步：由 $A\boldsymbol{\xi} = \lambda\boldsymbol{\xi}$ 列方程组

$\begin{cases} -1 = \lambda \\ 2+a = \lambda \\ 1+b = -\lambda \end{cases}$

（两个向量相等意味着对应分量相等，建立方程组）

第五步：求解

由第1式：$\lambda = -1$

（先解出特征值，因为它不依赖其他参数）

代入第2式：$2+a = -1 \Rightarrow a = -3$

（回代求 $a$）

代入第3式：$1+b = -(-1) = 1 \Rightarrow b = 0$

（回代求 $b$）

答案： $a = -3,\ b = 0,\ \lambda = -1$

第(2)问：判断 $A$ 能否相似对角化

第一步：确定矩阵 $A$

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

（将求得的参数代入原矩阵）

第二步：求 $A$ 的全部特征值

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 2 \\ 5 & -3-\lambda & 3 \\ -1 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix}$

（构造特征多项式）

展开计算（按第3行展开较方便）：

$= -1 \cdot (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3-\lambda & 3 \end{vmatrix} + 0 + (-2-\lambda)\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 5 & -3-\lambda \end{vmatrix}$

（选择含零元素多的行/列展开，简化计算）

$= -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3-\lambda & 3 \end{vmatrix} + (-2-\lambda)\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 5 & -3-\lambda \end{vmatrix}$

$= -[-3-2(-3-\lambda)] + (-2-\lambda)[(2-\lambda)(-3-\lambda)+5]$

$= -[-3+6+2\lambda] + (-2-\lambda)[-6-2\lambda+3\lambda+\lambda^2+5]$

$= -(3+2\lambda) + (-2-\lambda)(\lambda^2+\lambda-1)$

… 继续整理，或尝试观察 $\lambda=-1$ 是否为根：

（已知 $\lambda=-1$ 是一个特征值，用多项式除法或因式分解）

实际上直接计算可得：

$|A-\lambda E| = -(\lambda+1)^3$

（经过详细展开整理，发现特征多项式为 $-(\lambda+1)^3$）

所以 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = -1$（三重特征值）

第三步：判断几何重数

能否对角化，关键看三重特征值 $-1$ 对应的线性无关特征向量个数是否等于 3。

（相似对角化的充要条件：每个特征值的几何重数 = 代数重数）

解 $(A + E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$：

$A + E = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 5 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

（代入 $\lambda=-1$）

行变换： $\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 5 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2+5r_1,\ r_3+3r_1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{r_2\div(-2)} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

（通过初等行变换求秩）

秩 $r(A+E) = 2$，未知数个数 $n = 3$

（确定系数矩阵的秩）

基础解系所含向量个数 = $n - r = 3 - 2 = 1$

（几何重数 = 解空间的维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩）

即 $\lambda=-1$ 只对应 1个 线性无关的特征向量。

第四步：下结论

因为代数重数（3）$\neq$ 几何重数（1），所以 $A$ 不能相似对角化。

（引用相似对角化的判定定理得出结论）

例题 6：考试水平 — 相似对角化的完整过程#

题目： 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ x & 4 & y \\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix}$，已知 $A$ 有 3 个线性无关的特征向量，且 $\lambda=2$ 是 $A$ 的二重特征值。求：

1. $x, y$ 的值；
2. 可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

解析：

第(1)问：求 $x, y$

第一步：分析已知条件

$A$ 有 3 个线性无关的特征向量 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化。

（将”有3个线性无关特征向量”翻译为可对角化）

$\lambda=2$ 是二重特征值，且 $A$ 可对角化 $\Rightarrow$ $\lambda=2$ 必须对应 2个 线性无关的特征向量。

（可对角化要求：每个特征值的几何重数 = 代数重数）

即 $n - r(A-2E) = 2$，所以 $r(A-2E) = 3-2 = 1$。

（由几何重数反推矩阵的秩应为1）

第二步：计算 $A - 2E$

$A - 2E = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ x & 2 & y \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}$

（代入 $\lambda=2$）

第三步：由秩为1确定 $x, y$

秩为1意味着所有行（列）成比例。

（秩为1的矩阵：所有行向量共线，即互相成比例）

观察第1行：$(-1, -1, 1)$

第3行：$(-3, -3, 3) = 3\times(-1, -1, 1)$，已满足比例关系。

（检查第3行是否与第1行成比例）

第2行必须与第1行成比例：

$\frac{x}{-1} = \frac{2}{-1} = \frac{y}{1}$

（利用行向量成比例列方程）

由 $\frac{2}{-1} = -2$，得：

$\frac{x}{-1} = -2 \Rightarrow x = 2$

$\frac{y}{1} = -2 \Rightarrow y = -2$

（解出参数值）

验证：此时 $A - 2E = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}$，确实秩为1。

（回代验证）

答案： $x = 2,\ y = -2$

第(2)问：求可逆矩阵 $P$

第一步：确定完整矩阵

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

（代入已求参数）

第二步：求第三个特征值

由特征值之和 = 迹：

$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1 + 4 + 5 = 10$

（利用迹与特征值的关系，已知两个特征值为2,2）

$2 + 2 + \lambda_3 = 10 \Rightarrow \lambda_3 = 6$

（求出第三个特征值）

第三步：求 $\lambda=2$ 的特征向量

解 $(A-2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$：

$A-2E = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

（行变换化为行最简形）

同解方程：$x_1 + x_2 - x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = x_1 + x_2$

（读出约束条件）

取自由未知量：

• $(x_1, x_2) = (1, 0)$：$x_3=1$，得 $\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $(x_1, x_2) = (0, 1)$：$x_3=1$，得 $\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

（取两组线性无关的自由未知量，得到两个线性无关特征向量）

第四步：求 $\lambda=6$ 的特征向量

解 $(A-6E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$：

$A-6E = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -3 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

（代入 $\lambda=6$）

行变换（过程略）化为：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

（通过初等行变换求解）

同解方程：$x_1 = \frac{1}{3}x_3,\ x_2 = -\frac{2}{3}x_3$

取 $x_3 = 3$，得 $\boldsymbol{\xi}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

（取整数解，避免分数）

第五步：构造 $P$

$P = (\boldsymbol{\xi}_1,\ \boldsymbol{\xi}_2,\ \boldsymbol{\xi}_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

（将特征向量按列排列构成可逆矩阵）

则：

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

（相似对角化的标准结果：对角线上为对应的特征值）

📋 方法总结卡#

相似对角化判定口诀：
“几重根，找几个；够个数，就能化；不够数，化不了。”

（指：$k$ 重特征值必须有 $k$ 个线性无关特征向量，才能对角化）

需要我针对某一道题再展开更详细的计算过程，或者出一道**正交对角化（实对称矩阵）**的例题吗？