一元情形#

若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，且均可导，则： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

多元情形（核心战场）#

若 $z = f(u, v)$，而 $u = u(x, y)$，$v = v(x, y)$，则：

对 $x$ 的偏导： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

对 $y$ 的偏导： $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

一句话翻译：复合函数求导就是**“层层剥皮、路径累加”**——因变量到自变量的每一条”链路”都要乘起来，所有链路再相加。

1. “链路思维”#

多元链式法则的本质是追踪所有可能的因果路径。从 $z$ 到 $x$，可能经过 $u$ 中转，也可能经过 $v$ 中转。每一条路径都是”局部变化率”的连乘，因为变化是逐层传导的。

2. “乘法即传导，加法即汇总”#

• 乘法（$\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$）：表示” $z$ 对 $u$ 敏感”乘以” $u$ 对 $x$ 敏感”，即变化率的传导。
• 加法（两条路径相加）：表示两个中间变量对最终结果的影响叠加。

3. 变量关系的”树状图”#

画树状图是解题的必杀技：

1
        z
2
       / \
3
      u   v
4
     / \ / \
5
    x   y   x   y

从 $z$ 到 $x$ 有两条路径：$z \to u \to x$ 和 $z \to v \to x$。有几条路就加几项，每条路有几段就连乘几段。

类比1：快递物流的”中转站网络”#

你网购了一个商品 $z$，它从工厂出发，经过分拨中心 $u$ 和 $v$，最终到达你所在的城市 $x$。

• 链路1：工厂 $z$ → 分拨中心 $u$ → 城市 $x$
  • 时效 = （工厂到分拨的速度）×（分拨到城市的速度）
• 链路2：工厂 $z$ → 分拨中心 $v$ → 城市 $x$
  • 时效 = （工厂到分拨的速度）×（分拨到城市的速度）

总时效影响 = 链路1 + 链路2

关键洞察：如果两个分拨中心都往你的城市发货，你的收货速度受两条路径共同影响。如果只走一条线，那就是一元链式法则；如果有多条线在跑，那就是多元链式法则的”加法汇总”。

类比2：公司KPI的”层层分解”#

公司总利润 $P$ 取决于两个部门：销售部业绩 $S$ 和生产部成本 $C$。而 $S$ 和 $C$ 又都取决于广告投入 $A$ 和人力投入 $H$。

问：多投1块钱广告，总利润怎么变？

• 路径1：广告 $A$ → 销售部 $S$ → 总利润 $P$
  • 贡献 = $\frac{\partial P}{\partial S} \cdot \frac{\partial S}{\partial A}$
• 路径2：广告 $A$ → 生产部 $C$ → 总利润 $P$
  • 贡献 = $\frac{\partial P}{\partial C} \cdot \frac{\partial C}{\partial A}$

总效应 = 路径1 + 路径2

生活启示：现实中任何一个决策（加广告）都会通过多个渠道影响最终结果。链式法则强迫你不遗漏任何一条影响路径，也不把不同路径混为一谈。