空间螺旋线例题帮助理解和解题

下面给出 3 道覆盖空间螺旋线核心考法的完整大题，每道均含详细推导与评分要点。

例题 1：第二类曲线积分（直接参数化法）#

题目：计算曲线积分 $I=\int_L xy\,\mathrm{d}x+yz\,\mathrm{d}y+zx\,\mathrm{d}z$ 其中 $L$ 为圆柱螺旋线 $x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad z=bt$ 上从点 $(a,0,0)$ 到点 $(a,0,2\pi b)$ 的一段（即 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ ）。

分析与解答#

Step 1：写出微分 $\mathrm{d}x=-a\sin t\,\mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}y=a\cos t\,\mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}z=b\,\mathrm{d}t$

Step 2：代入被积表达式 将被积函数中的 $x,y,z$ 及微分全部用 $t$ 表示：

项	代入结果
$xy\,\mathrm{d}x$	$(a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t\,\mathrm{d}t)=-a^3\cos t\sin^2 t\,\mathrm{d}t$
$yz\,\mathrm{d}y$	$(a\sin t)(bt)(a\cos t\,\mathrm{d}t)=a^2bt\sin t\cos t\,\mathrm{d}t$
$zx\,\mathrm{d}z$	$(bt)(a\cos t)(b\,\mathrm{d}t)=ab^2t\cos t\,\mathrm{d}t$

于是 $I=\int_0^{2\pi}\left[-a^3\cos t\sin^2 t+a^2bt\sin t\cos t+ab^2t\cos t\right]\mathrm{d}t$

Step 3：分项积分

第一项

=-a^3\left[\frac{\sin^3 t}{3}\right]_0^{2\pi}=0$$ - **第二项**（利用 $\sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin 2t$，分部积分） $$\int_0^{2\pi}a^2bt\sin t\cos t\,\mathrm{d}t =\frac{a^2b}{2}\int_0^{2\pi}t\sin 2t\,\mathrm{d}t =\frac{a^2b}{2}\left[-\frac{t\cos 2t}{2}\Big|_0^{2\pi}+\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\cos 2t\,\mathrm{d}t\right] =-\frac{\pi a^2b}{2}$$ - **第三项**（分部积分） $$\int_0^{2\pi}ab^2t\cos t\,\mathrm{d}t =ab^2\left[t\sin t\Big|_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin t\,\mathrm{d}t\right]=0$$ **Step 4：合并结果** $$\boxed{I=-\frac{\pi a^2b}{2}}$$ ### 小结 这是空间螺旋线最标准的考法。**关键得分点**：(1) 正确写出 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$；(2) 三角函数积分与分部积分不出错；(3) 注意上下限对应起点和终点。 --- ## 例题 2：曲率与挠率证明（数学一重点） > **题目**：设圆柱螺旋线 > $$\vec{r}(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;bt)\quad(a>0,\;b\neq 0)$$ > 证明其曲率 $\kappa$ 与挠率 $\tau$ 均为常数，并求出弗雷内标架中的单位切向量 $\vec{T}$、主法向量 $\vec{N}$、副法向量 $\vec{B}$。 ### 分析与解答 **Step 1：求各阶导数** $$\vec{r}'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b),\qquad \|\vec{r}'\|=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$\vec{r}''(t)=(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0)$$ $$\vec{r}'''(t)=(a\sin t,\;-a\cos t,\;0)$$ **Step 2：计算曲率** 先求叉积： $$\vec{r}'\times\vec{r}''= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\[2pt] -a\sin t&a\cos t&b\\[2pt] -a\cos t&-a\sin t&0 \end{vmatrix} =(ab\sin t,\;-ab\cos t,\;a^2)$$ 其模长： $$\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|=\sqrt{a^2b^2(\sin^2t+\cos^2t)+a^4}=a\sqrt{a^2+b^2}$$ 曲率公式： $$\kappa=\frac{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|}{\|\vec{r}'\|^3} =\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(a^2+b^2)^{3/2}} =\boxed{\frac{a}{a^2+b^2}}$$ **Step 3：计算挠率** 计算混合积： $$(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''=ab\sin t\cdot a\sin t+(-ab\cos t)\cdot(-a\cos t)+a^2\cdot0=a^2b$$ 挠率公式： $$\tau=\frac{(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''}{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|^2} =\frac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)} =\boxed{\frac{b}{a^2+b^2}}$$ 二者均与 $t$ 无关，故为**常数**。 **Step 4：弗雷内标架** - **单位切向量** $$\vec{T}=\frac{\vec{r}'}{\|\vec{r}'\|}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(-a\sin t,\;a\cos t,\;b)$$ - **主法向量**（利用 $\vec{N}=\frac{\vec{T}'}{\|\vec{T}'\|}$，或 $\vec{N}=\frac{(\vec{r}'\cdot\vec{r}')\vec{r}''-(\vec{r}'\cdot\vec{r}'')\vec{r}'}{\|\cdots\|}$） $$\vec{T}'=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0),\qquad \|\vec{T}'\|=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ $$\vec{N}=(-\cos t,\;-\sin t,\;0)$$ - **副法向量** $$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(b\sin t,\;-b\cos t,\;a)$$ ### 小结 **必背公式**： $$\kappa=\frac{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|}{\|\vec{r}'\|^3},\qquad \tau=\frac{(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''}{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|^2}$$ 考试常要求**完整写出求导、叉积、点积过程**，切忌直接套结果。 --- ## 例题 3：第一类曲线积分（物理应用） > **题目**：一弹簧的形状为螺旋线 > $$x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad z=3t\quad(0\leq t\leq 2\pi)$$ > 其上任一点的线密度等于该点的 $z$ 坐标（即 $\rho=z$）。求： > (1) 弹簧的质量 $m$； > (2) 弹簧质心的竖坐标 $\bar{z}$； > (3) 弹簧关于 $z$ 轴的转动惯量 $I_z$。 ### 分析与解答 **预备**：弧长元素 $$\mathrm{d}s=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt{4+9}\,\mathrm{d}t=\sqrt{13}\,\mathrm{d}t$$ **(1) 质量** $$m=\int_L\rho\,\mathrm{d}s=\int_0^{2\pi}3t\cdot\sqrt{13}\,\mathrm{d}t =3\sqrt{13}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{2\pi} =\boxed{6\pi^2\sqrt{13}}$$ **(2) 质心竖坐标** 静矩（对 $xy$ 平面） $$M_{xy}=\int_L z\rho\,\mathrm{d}s=\int_0^{2\pi}3t\cdot 3t\cdot\sqrt{13}\,\mathrm{d}t =9\sqrt{13}\int_0^{2\pi}t^2\,\mathrm{d}t =9\sqrt{13}\cdot\frac{8\pi^3}{3} =24\pi^3\sqrt{13}$$ 于是 $$\bar{z}=\frac{M_{xy}}{m}=\frac{24\pi^3\sqrt{13}}{6\pi^2\sqrt{13}}=\boxed{4\pi}$$ **(3) 关于 $z$ 轴的转动惯量** $$I_z=\int_L(x^2+y^2)\rho\,\mathrm{d}s =\int_0^{2\pi}(4\cos^2t+4\sin^2t)\cdot 3t\cdot\sqrt{13}\,\mathrm{d}t =12\sqrt{13}\int_0^{2\pi}t\,\mathrm{d}t$$ $$=12\sqrt{13}\cdot\frac{(2\pi)^2}{2}=\boxed{24\pi^2\sqrt{13}}$$ ### 小结 物理应用题的核心是**正确写出被积函数**（密度、距离平方等）并**统一参数**。注意 $x^2+y^2=4$ 在本题中是常数，可大大简化计算。 --- ## 考场时间分配建议 | 题型 | 建议用时 | 易错点 | |------|---------|--------| | 直接参数化曲线积分 | 8–10 分钟 | 微分符号搞混、三角积分漏系数 | | 曲率挠率证明 | 10–12 分钟 | 叉积计算出错、三阶导数漏写 | | 物理应用（质量/质心） | 10–15 分钟 | 静矩与质心公式颠倒、转动惯量距离平方选错 | 如需我再补充**斯托克斯公式**（补线法）或**格林公式**结合螺旋线的综合题，可以继续说。

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