怎么判断空间曲线类别？

1.1 一般方程（交面式）#

$\boxed{\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}}$

两平面的交线，要求两平面不平行。

1.2 对称式方程（点向式）#

$\boxed{\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}}$

• 过点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$
• 方向向量 $\vec{s} = (m, n, p)$

特殊情况：若某分母为0，如 $m=0$，则理解为 $x = x_0$

1.3 参数方程#

$\boxed{\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})}$

2.1 一般方程#

$\boxed{Ax + By + Cz + D = 0}$

• 法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$

特殊情形：

2.2 点法式#

$\boxed{A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0}$

过点 $(x_0, y_0, z_0)$，法向量 $(A,B,C)$

2.3 截距式#

$\boxed{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1}$

在 $x,y,z$ 轴上的截距分别为 $a,b,c$

3.1 标准方程（球心在原点）#

$\boxed{x^2 + y^2 + z^2 = R^2}$

• 球心 $O(0,0,0)$
• 半径 $R$

3.2 一般方程（球心在任意点）#

$\boxed{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2}$

• 球心 $M_0(x_0, y_0, z_0)$
• 半径 $R$

3.3 展开的一般形式#

$x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$

判别条件：配方后半径平方 $> 0$ 才表示球面

核心特征#

方程缺少一个变量（母线平行于所缺变量对应的坐标轴）

4.1 圆柱面（Circular Cylinder）#

4.2 椭圆柱面（Elliptic Cylinder）#

$\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1} \quad \text{（缺 } z \text{，母线// } z \text{ 轴）}$

4.3 双曲柱面（Hyperbolic Cylinder）#

$\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1} \quad \text{（缺 } z \text{，母线// } z \text{ 轴）}$

4.4 抛物柱面（Parabolic Cylinder）#

$\boxed{y^2 = 2px} \quad \text{（缺 } z \text{，母线// } z \text{ 轴）}$

4.5 一般柱面方程#

5.1 圆锥面（Circular Cone）#

顶点在原点，轴为 $z$ 轴： $\boxed{z^2 = a^2(x^2 + y^2)}$

或写成： $z = \pm a\sqrt{x^2+y^2}$

• 半顶角 $\alpha$：$a = \cot\alpha$
• 顶点在原点

5.2 椭圆锥面（Elliptic Cone）#

$\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2}$

• 顶点在原点
• 用 $z=t$ 截得椭圆

5.3 一般锥面#

顶点在原点的锥面方程特征：齐次方程（各项次数相同）

$F(x,y,z) = 0 \quad \text{其中 } F(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^n F(x,y,z)$

6.1 一般方程（交面式）#

$\boxed{\begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases}}$

两曲面的交线

6.2 参数方程#

$\boxed{\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}}$

6.3 常见空间曲线类型#

1.1 一般方程（交面式）#

$\begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases}$

几何意义：两个曲面的交线

1.2 参数方程#

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$

方法一：观察曲面类型（从一般方程判断）#

方法二：消元分析（判断是否为平面曲线）#

关键问题：该空间曲线是否落在某个平面上？

检验方法：

1. 尝试从两个方程中消去一个变量，看能否得到平面方程
2. 若能写成 $\begin{cases} \text{某曲面方程} \\ Ax+By+Cz+D=0 \end{cases}$，则是平面曲线

例题：

判断 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0 \end{cases}$ 是什么曲线？

解：第二个方程是平面，所以这是平面与球面的交线 = 圆（且平面过原点=球心，所以是大圆）

方法三：参数方程分析#

3.1 平面曲线（最重要）#

定义：落在某个平面上的空间曲线

3.2 非平面曲线（挠曲线）#

例题1#

$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=4 \\ z=1 \end{cases}$

判断：

• 第二个方程：$z=1$ 是平面（水平面）
• 第一个方程：球面，半径2，球心原点
• 平面 $z=1$ 截球面：圆心 $(0,0,1)$，半径 $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$

答案：圆（小圆，平面不过球心）

例题2#

$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ z=x \end{cases}$

判断：

• 第一个：圆柱面（母线// $z$ 轴）
• 第二个：平面（$x-z=0$）
• 圆柱+平面 = 椭圆（平面斜截圆柱）

验证：消去 $x$，得 $z^2+y^2=1$，但 $x=z$，所以是 $\begin{cases} y^2+z^2=1 \\ x=z \end{cases}$，在平面 $x=z$ 上是圆，但空间中是椭圆投影

实际上：参数化 $x=\cos t, y=\sin t, z=\cos t$

• 满足 $x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1$ ✓
• 满足 $z=x=\cos t$ ✓

这是椭圆（在平面 $x=z$ 上）

例题3#

$\begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=t \end{cases}$

判断：

• $x^2+y^2=1$：在圆柱面上
• $z=t$：随 $t$ 线性增长

答案：圆柱螺旋线（教材第6题）

例题4（Viviani曲线）#

$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x^2+y^2=Rx \end{cases}$

判断：

• 第一个：球面
• 第二个：圆柱面（配方：$(x-\frac{R}{2})^2+y^2=\frac{R^2}{4}$，圆心 $(\frac{R}{2},0)$，半径 $\frac{R}{2}$）

这是球面与圆柱面的交线，称为Viviani曲线，是8字形的空间闭合曲线，不是平面曲线。