一、选择题（每小题3分，共30分）#

1. 一质点做直线运动，运动方程为 $x = 3t + 2t^3$（SI单位）。$t = 2\,\text{s}$ 时，其加速度大小为（　　）

A. $6\,\text{m/s}^2$　　B. $12\,\text{m/s}^2$　　C. $18\,\text{m/s}^2$　　D. $24\,\text{m/s}^2$

【解析】 速度 $v = \dfrac{dx}{dt} = 3 + 6t^2$，加速度 $a = \dfrac{dv}{dt} = 12t$。当 $t = 2\,\text{s}$ 时，$a = 12\times 2 = 24\,\text{m/s}^2$。注意这是变加速运动，不能直接用匀变速公式。本题选 D。

2. 一质量为 $0.5\,\text{kg}$ 的球以 $v_1 = 20\,\text{m/s}$ 垂直击中墙面，以 $v_2 = 15\,\text{m/s}$ 反向弹回，接触时间 $\Delta t = 0.02\,\text{s}$。墙对球的平均冲击力大小为（　　）

A. $175\,\text{N}$　　B. $350\,\text{N}$　　C. $700\,\text{N}$　　D. $875\,\text{N}$

【解析】 取球初速度方向（朝向墙面）为正方向。初动量 $p_1 = mv_1 = 0.5\times 20 = 10\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$。末动量 $p_2 = m(-v_2) = 0.5\times(-15) = -7.5\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$。由动量定理：$\bar{F}\cdot \Delta t = p_2 - p_1 = -7.5 - 10 = -17.5$，故 $\bar{F} = -17.5/0.02 = -875\,\text{N}$。负号表示方向与初速度相反，大小为 $875\,\text{N}$。本题选 D。

3. 一质量为 $m$、长为 $l$ 的匀质细杆，绕通过其中心且垂直于杆的轴转动，其转动惯量为（　　）

A. $\dfrac{1}{12}ml^2$　　B. $\dfrac{1}{3}ml^2$　　C. $\dfrac{1}{2}ml^2$　　D. $ml^2$

【解析】 常见匀质刚体转动惯量：细杆绕中心垂直轴 $J = \dfrac{1}{12}ml^2$；绕端点垂直轴 $J = \dfrac{1}{3}ml^2$；圆盘绕中心垂直轴 $J = \dfrac{1}{2}mR^2$；圆环绕中心垂直轴 $J = mR^2$。本题选 A。

4. 某理想气体温度为 $27^\circ\text{C}$，其分子平均平动动能约为（　　）

A. $3.1\times 10^{-21}\,\text{J}$　　B. $4.1\times 10^{-21}\,\text{J}$　　C. $6.2\times 10^{-21}\,\text{J}$　　D. $8.3\times 10^{-21}\,\text{J}$

【解析】 热力学温度 $T = 27 + 273 = 300\,\text{K}$。由温度微观公式 $\bar{\varepsilon}_k = \dfrac{3}{2}kT = \dfrac{3}{2}\times 1.38\times 10^{-23}\times 300 = 6.21\times 10^{-21}\,\text{J}$。温度相同时，所有理想气体的平均平动动能相同，与分子种类无关。本题选 C。

5. 1 mol 单原子理想气体在等容过程中温度升高 $\Delta T$，其吸收的热量为（　　）

A. $\dfrac{3}{2}R\Delta T$　　B. $\dfrac{5}{2}R\Delta T$　　C. $\dfrac{7}{2}R\Delta T$　　D. $R\Delta T$

【解析】 等容过程 $W = 0$，由热力学第一定律 $Q = \Delta E = \nu C_V \Delta T$。单原子分子 $i = 3$，$C_V = \dfrac{3}{2}R$，故 $Q = 1\times \dfrac{3}{2}R\Delta T = \dfrac{3}{2}R\Delta T$。等压过程才是 $\dfrac{5}{2}R\Delta T$（单原子）。本题选 A。

6. 一质点做简谐振动，振幅 $A = 4\,\text{cm}$，周期 $T = 2\,\text{s}$。当 $t = 0$ 时，质点位于 $x = 2\,\text{cm}$ 处且向 $x$ 正方向运动。其振动方程为（　　）

A. $x = 4\cos(\pi t + \pi/3)\,\text{cm}$
B. $x = 4\cos(\pi t - \pi/3)\,\text{cm}$
C. $x = 4\cos(\pi t + \pi/6)\,\text{cm}$
D. $x = 4\cos(2\pi t - \pi/3)\,\text{cm}$

【解析】 $\omega = 2\pi/T = \pi\,\text{rad/s}$。$t = 0$ 时，$x_0 = A\cos\varphi = 4\cos\varphi = 2$，得 $\cos\varphi = 1/2$，$\varphi = \pm \pi/3$。由 $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$，$v_0 = -4\pi\sin\varphi > 0$，故 $\sin\varphi < 0$，因此 $\varphi = -\pi/3$（或 $5\pi/3$）。振动方程为 $x = 4\cos(\pi t - \pi/3)\,\text{cm}$。本题选 B。

7. 一平面简谐波沿 $x$ 轴负方向传播，波速 $u = 0.8\,\text{m/s}$，$t = 0$ 时刻波形如图，$A = 0.04\,\text{m}$，$\lambda = 0.4\,\text{m}$，且原点处质点向 $y$ 轴负方向运动。该波的波动表达式为（　　）

A. $y = 0.04\cos(4\pi t - 5\pi x + \pi/2)$
B. $y = 0.04\cos(4\pi t + 5\pi x + \pi/2)$
C. $y = 0.04\cos(4\pi t - 5\pi x - \pi/2)$
D. $y = 0.04\cos(4\pi t + 5\pi x - \pi/2)$

【解析】 $T = \lambda/u = 0.4/0.8 = 0.5\,\text{s}$，$\omega = 2\pi/T = 4\pi\,\text{rad/s}$。$t = 0$ 时原点 $y_0 = 0$ 且向负方向运动，由旋转矢量法得 $\varphi_0 = \pi/2$。波沿 $x$ 轴负方向传播，用 $t + x/u$ 形式：$y = A\cos[\omega(t + x/u) + \varphi_0] = 0.04\cos[4\pi(t + x/0.8) + \pi/2] = 0.04\cos(4\pi t + 5\pi x + \pi/2)$（m）。本题选 B。

8. 一飞船以 $v = 0.8c$ 相对地面飞行，地面观察者测得飞船长度为 $60\,\text{m}$。则飞船的固有长度为（　　）

A. $48\,\text{m}$　　B. $60\,\text{m}$　　C. $75\,\text{m}$　　D. $100\,\text{m}$

【解析】 由长度收缩公式 $L = L_0/\gamma$，$\gamma = 1/\sqrt{1-0.8^2} = 1/0.6 = 5/3$。已知 $L = 60\,\text{m}$，则 $L_0 = \gamma L = (5/3)\times 60 = 100\,\text{m}$。固有长度是物体在相对静止参考系中测得的长度，是最长的长度。本题选 D。

9. 关于卡诺循环，下列说法正确的是（　　）

A. 卡诺循环效率与工作物质有关
B. 卡诺循环效率只与高低温热源温度有关
C. 卡诺热机效率总是 $100\%$
D. 实际热机效率可以超过卡诺循环效率

【解析】 卡诺循环效率 $\eta = 1 - T_2/T_1$，只与高低温热源温度有关，与工作物质无关（B正确，A错误）。除非 $T_2 = 0\,\text{K}$（不可能），否则效率不可能达到 $100\%$（C错误）。卡诺循环是理论上效率最高的循环，实际热机效率不可能超过同温热源间的卡诺效率（D错误）。本题选 B。

10. 一弦线长 $L = 1.0\,\text{m}$，两端固定，形成驻波，弦线上有三段（两个波腹之间为一个”段”），波速 $u = 100\,\text{m/s}$。该驻波的频率为（　　）

A. $50\,\text{Hz}$　　B. $100\,\text{Hz}$　　C. $150\,\text{Hz}$　　D. $200\,\text{Hz}$

【解析】 两端固定的弦形成驻波，两端必须是波节。“三段”即 $3$ 个半波长，$L = 3\lambda/2$，故 $\lambda = 2L/3 = 2/3\,\text{m}$。频率 $\nu = u/\lambda = 100/(2/3) = 150\,\text{Hz}$。一般公式：两端固定弦 $\nu_n = nu/(2L)$，$n$ 为段数，本题 $n=3$。本题选 C。

二、填空题（每小题3分，共18分）#

11. 在水平地面上，以初速度 $v_0$、抛射角 $\theta$ 斜抛一物体，其水平射程为 $R = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$。当抛射角 $\theta =$ ________ 时，射程最大，最大射程为 ________。

【解析】 $R = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$，当 $\sin(2\theta) = 1$ 即 $2\theta = 90°$ 时 $R$ 最大。故 $\theta = 45°$，$R_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$。答案为 $45°$（或 $\pi/4$） 和 $v_0^2/g$。

注意：若抛出点与落地点不在同一高度，最大射程对应的抛射角不是 $45°$。

12. 长 $L$ 的轻绳悬挂小球，从水平位置静止释放，到达最低点时绳中张力为 ________（用 $m$、$g$ 表示）。

【解析】 由机械能守恒：$mgL = \dfrac{1}{2}mv^2$，得 $v^2 = 2gL$。在最低点，由牛顿第二定律（圆周运动）：$T - mg = m\dfrac{v^2}{L} = m\dfrac{2gL}{L} = 2mg$。因此 $T = 3mg$。答案为 $3mg$。

这是单摆的经典结论：最低点张力是重力的3倍。

13. 一水平圆台可绕通过中心的光滑竖直轴转动，圆台质量为 $M$、半径为 $R$，转动惯量 $J = \dfrac{1}{2}MR^2$。一质量为 $m$ 的人站在圆台边缘，初始均静止。若人沿圆台边缘以相对地面速率 $v$ 匀速行走，则圆台的角速度大小为 ________。

【解析】 人+圆台系统，转轴光滑，无外力矩，角动量守恒。初态 $L_0 = 0$。末态：人角动量 $L_{人} = mRv$（设为正方向），圆台角动量 $L_{台} = J\omega = \dfrac{1}{2}MR^2\omega$（方向相反）。由 $mRv - \dfrac{1}{2}MR^2\omega = 0$，得 $\omega = \dfrac{2mv}{MR}$。答案为 $\dfrac{2mv}{MR}$（方向与人行走方向相反）。

14. 标准状态下（$T = 273\,\text{K}$，$p = 1.01\times 10^5\,\text{Pa}$）某气体平均自由程为 $1.0\times 10^{-7}\,\text{m}$。若温度不变，压强降为 $0.1p$，则新的平均自由程为 ________ $\text{m}$。

【解析】 由平均自由程公式 $\bar{\lambda} = \dfrac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}$，当 $T$ 不变时，$\bar{\lambda} \propto 1/p$。压强降为 $0.1p$，则 $\bar{\lambda}_2 = 10\bar{\lambda}_1 = 10\times 1.0\times 10^{-7} = 1.0\times 10^{-6}\,\text{m}$。答案为 $1.0\times 10^{-6}$（或 $10^{-6}$）。

物理图像：压强降低 $\to$ 分子数密度减小 $\to$ 碰撞减少 $\to$ 自由程变长。

15. 一静止的警报器发出频率 $\nu_0 = 1000\,\text{Hz}$ 的声波，声速 $u = 340\,\text{m/s}$。一汽车以 $v = 30\,\text{m/s}$ 向警报器驶来，汽车上的人听到的警报器频率为 ________ Hz。

【解析】 波源静止 $v_s = 0$，观察者向波源运动 $v_o = 30\,\text{m/s}$。多普勒效应公式：$\nu = \nu_0\dfrac{u + v_o}{u} = 1000\times \dfrac{340 + 30}{340} = 1000\times \dfrac{370}{340} \approx 1088\,\text{Hz}$。答案为 1088（或约 $1088$、$1080$）。

16. 电子静质量 $m_0 = 9.11\times 10^{-31}\,\text{kg}$，被加速到 $v = 0.9c$。其相对论动能约为 ________ J。（已知 $\gamma \approx 2.294$）

【解析】 相对论动能 $E_k = (\gamma - 1)m_0c^2 = (2.294 - 1)\times 9.11\times 10^{-31}\times (3\times 10^8)^2 = 1.294\times 9.11\times 10^{-31}\times 9\times 10^{16} \approx 1.06\times 10^{-13}\,\text{J}$。若用经典公式 $E_k = \dfrac{1}{2}m_0v^2$，结果仅为相对论值的约 $31\%$，在高速下完全失效。答案为 $1.06\times 10^{-13}$（或约 $1.1\times 10^{-13}$）。

三、计算题（共52分）#

17.（10分） 一辆汽车以 $v_0 = 25\,\text{m/s}$ 的速度行驶，司机发现前方障碍物后以 $a = -5\,\text{m/s}^2$ 刹车。 (1) 求刹车后 $4\,\text{s}$ 末的速度； (2) 求刹车后 $8\,\text{s}$ 内的位移。

【解析】

(1) $t = 4\,\text{s}$ 时的速度

先求停止时间：令 $v = v_0 + at = 0$，得 $t_0 = 25/5 = 5\,\text{s}$。

$t = 4\,\text{s} < t_0$，汽车尚未停止。$v = 25 + (-5)\times 4 = 25 - 20 = 5\,\text{m/s}$。

$v > 0$ 说明此时汽车仍在向前运动。

(2) $8\,\text{s}$ 内的位移

由于汽车在 $t_0 = 5\,\text{s}$ 时已停止，之后保持静止。因此”$8\,\text{s}$ 内的位移”实际等于”$5\,\text{s}$ 内的位移”。

用公式 $x = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2$，代入 $t = 5\,\text{s}$： $x = 25\times 5 + \dfrac{1}{2}\times(-5)\times 25 = 125 - 62.5 = 62.5\,\text{m}$

易错警示：若直接代入 $t = 8\,\text{s}$，得 $x = 25\times 8 - 2.5\times 64 = 200 - 160 = 40\,\text{m}$，这是错误的！因为汽车停止后加速度不再保持 $-5\,\text{m/s}^2$。刹车问题必须先判断停止时间。

18.（10分） 光滑水平面上，质量 $m_1 = 3\,\text{kg}$ 以 $v_1 = 4\,\text{m/s}$ 运动，追上质量 $m_2 = 1\,\text{kg}$ 以 $v_2 = 2\,\text{m/s}$ 同向运动，碰撞后粘在一起。求： (1) 碰撞后共同速度； (2) 碰撞过程中损失的机械能。

【解析】

(1) 共同速度

水平面光滑，系统水平方向不受外力，动量守恒。 $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$ $3\times 4 + 1\times 2 = (3 + 1)v$ $14 = 4v \Rightarrow v = 3.5\,\text{m/s}$

共同速度为 $3.5\,\text{m/s}$，方向与原运动方向相同。

(2) 机械能损失

初态动能：$E_{k1} = \dfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \dfrac{1}{2}\times 3\times 16 + \dfrac{1}{2}\times 1\times 4 = 24 + 2 = 26\,\text{J}$

末态动能：$E_{k2} = \dfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \dfrac{1}{2}\times 4\times 12.25 = 24.5\,\text{J}$

机械能损失：$\Delta E = E_{k1} - E_{k2} = 26 - 24.5 = 1.5\,\text{J}$

损失的机械能转化为内能（形变能、热能等）。

19.（10分） 一质量为 $m$、半径为 $R$ 的匀质圆盘（可视为滑轮）绕水平固定轴转动，轻绳绕在轮缘上，下端挂一质量为 $M$ 的物体。物体从静止开始下落，不计轴处摩擦。求： (1) 物体的加速度 $a$； (2) 绳中张力 $T$。

【解析】

设物体下落加速度为 $a$（向下），滑轮角加速度为 $\alpha$（顺时针），绳中张力为 $T$。

对物体 $M$ 列平动方程（取向下为正）： $Mg - T = Ma \quad \text{（牛顿第二定律）}$

对滑轮列转动方程（取顺时针为正）： $TR = J\alpha \quad \text{（转动定律）}$

运动学约束（绳不打滑）： $a = R\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{a}{R}$

联立求解：

由转动方程：$T = \dfrac{J\alpha}{R} = \dfrac{Ja}{R^2}$。

匀质圆盘 $J = \dfrac{1}{2}mR^2$，故 $T = \dfrac{\dfrac{1}{2}mR^2\cdot a}{R^2} = \dfrac{1}{2}ma$。

代入平动方程： $Mg - \dfrac{1}{2}ma = Ma \Rightarrow Mg = \left(M + \dfrac{m}{2}\right)a$

$\boxed{a = \dfrac{2M}{2M + m}g}$

绳中张力： $T = \dfrac{1}{2}ma = \dfrac{1}{2}m\cdot \dfrac{2M}{2M + m}g = \boxed{\dfrac{Mm}{2M + m}g}$

讨论：若滑轮质量可忽略（$m = 0$），则 $T = 0$ 且 $a = g$，这与无滑轮自由落体一致。

20.（10分） 1 mol 单原子理想气体从 $p_1 = 2\times 10^5\,\text{Pa}$、$V_1 = 2\times 10^{-3}\,\text{m}^3$ 绝热膨胀至 $V_2 = 4\times 10^{-3}\,\text{m}^3$。求： (1) 末态压强 $p_2$ 和温度 $T_2$； (2) 气体对外做的功。

【解析】

单原子分子 $i = 3$，$\gamma = C_p/C_V = (i+2)/i = 5/3$。

(1) 末态压强和温度

由绝热过程方程 $p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$： $p_2 = p_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 2\times 10^5\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5/3} \approx 2\times 10^5\times 0.397 = 7.94\times 10^4\,\text{Pa}$

初温：$T_1 = \dfrac{p_1V_1}{\nu R} = \dfrac{2\times 10^5\times 2\times 10^{-3}}{8.314} = \dfrac{400}{8.314} \approx 48.1\,\text{K}$。

由 $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$： $T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 48.1\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2/3} \approx 48.1\times 0.63 = 30.3\,\text{K}$

(2) 对外做功

绝热过程 $Q = 0$，由热力学第一定律 $W = -\Delta E = -\nu C_V(T_2 - T_1)$。 $W = -\dfrac{3}{2}\times 8.314\times(30.3 - 48.1) = -\dfrac{3}{2}\times 8.314\times(-17.8) \approx 222\,\text{J}$

气体对外做功约为 $222\,\text{J}$（或更精确值 $221.7\,\text{J}$）。

物理意义：气体绝热膨胀，对外做功以内能减少为代价，温度降低。

21.（12分） 两相干波源 $S_1$ 和 $S_2$ 相距 $d = 3\,\text{m}$，振动频率均为 $\nu = 100\,\text{Hz}$，相位相同，振幅均为 $A = 0.01\,\text{m}$。波速 $u = 400\,\text{m/s}$。求： (1) 波长 $\lambda$； (2) $S_1S_2$ 连线上因干涉而静止的点的位置； (3) 连线上因干涉而加强的点的位置。

【解析】

(1) 波长 $\lambda = \dfrac{u}{\nu} = \dfrac{400}{100} = 4\,\text{m}$

(2) 干涉静止点（减弱点）

设 $S_1$ 在原点 $x = 0$，$S_2$ 在 $x = 3\,\text{m}$ 处。考察连线上任意点 $P$ 坐标为 $x$。

• 当 $P$ 在 $S_1$ 左侧（$x < 0$）：$r_1 = -x$，$r_2 = 3 - x$，$\delta = r_2 - r_1 = 3$。$3$ 不是 $\lambda/2 = 2$ 的奇数倍，无静止点。
• 当 $P$ 在 $S_1S_2$ 之间（$0 \le x \le 3$）：$r_1 = x$，$r_2 = 3 - x$，$\delta = |3 - 2x|$。
• 当 $P$ 在 $S_2$ 右侧（$x > 3$）：$r_1 = x$，$r_2 = x - 3$，$\delta = 3$，无静止点。

静止点满足：$|3 - 2x| = (2k + 1)\dfrac{\lambda}{2} = (2k + 1)\times 2$。

• $k = 0$：$|3 - 2x| = 2$ $\Rightarrow$ $3 - 2x = 2$ 或 $3 - 2x = -2$，得 $x = 0.5\,\text{m}$ 或 $x = 2.5\,\text{m}$。
• $k = 1$：$|3 - 2x| = 6$，超出 $[0, 3]$ 范围。

静止点位置为 $x = 0.5\,\text{m}$ 和 $x = 2.5\,\text{m}$。

(3) 干涉加强点

加强点满足：$|3 - 2x| = k\lambda = 4k$（$k = 0, 1, 2, ...$）。

• $k = 0$：$|3 - 2x| = 0$ $\Rightarrow$ $x = 1.5\,\text{m}$。
• $k = 1$：$|3 - 2x| = 4$ $\Rightarrow$ $3 - 2x = 4$（$x = -0.5$，舍去）或 $3 - 2x = -4$（$x = 3.5$，舍去）。

在 $S_1S_2$ 连线上，只有 $x = 1.5\,\text{m}$（中点）为加强点。

验证：中点波程差为零，两波源相位相同，故中点干涉加强。

试卷结束，祝考试顺利！