1.1 描述运动的四个基本量#

关键区分：位移是矢量（$\Delta\vec{r}$），路程是标量（$\Delta s$）。只有单向直线运动时，$|\Delta\vec{r}|=\Delta s$。

2.1 匀变速直线运动（加速度 $a$ 为常量）#

这是运动学中最基础、最核心的公式组，五个物理量（$x_0, v_0, v, a, t$）中已知三个可求其余。

记忆技巧：把 $x-x_0$ 记为 $\Delta x$（位移），公式更简洁。第4式是平均速度公式，$\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$ 仅在匀变速时成立。

2.2 变加速直线运动（$a$ 随时间或位置变化）#

当加速度不是常量时，必须用微积分：

$\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt} \Rightarrow \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\int_{t_0}^{t}\vec{a}(t')\,dt'$

$\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt} \Rightarrow \vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'$

适用条件：加速度是时间的已知函数 $a(t)$，或需要通过牛顿第二定律 $F=ma$ 先求出 $a(t)$。

3.1 直角坐标系描述#

将运动分解为 $x, y, z$ 三个独立方向：

$\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$

$\vec{v}(t)=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}+\frac{dz}{dt}\vec{k}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}$

$\vec{a}(t)=\frac{dv_x}{dt}\vec{i}+\frac{dv_y}{dt}\vec{j}+\frac{dv_z}{dt}\vec{k}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$

核心思想：曲线运动可分解为几个相互独立的直线运动（运动的独立性原理）。

3.2 自然坐标系（切向、法向分解）#

对于已知轨迹的曲线运动，沿轨迹切线和法线方向分解：

$\vec{a}=\vec{a}_\tau+\vec{a}_n=\frac{dv}{dt}\vec{e}_\tau+\frac{v^2}{\rho}\vec{e}_n$

关键理解：$a_\tau$ 让你”跑得快慢变”，$a_n$ 让你”拐弯”。匀速圆周运动时 $a_\tau=0$，只有 $a_n$。

3.3 圆周运动（角量描述）#

匀变速圆周运动（$\alpha$ 为常量）：

$\omega=\omega_0+\alpha t$ $\theta=\theta_0+\omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ $\omega^2-\omega_0^2=2\alpha(\theta-\theta_0)$

类比记忆：角量公式与线量公式形式完全一致，只需把 $x\to\theta,\ v\to\omega,\ a\to\alpha$。

4.1 基本关系#

设 $S$ 为静止参考系，$S'$ 为相对 $S$ 以速度 $\vec{u}$ 平动的参考系：

$\vec{r}=\vec{r}'+\vec{r}_{O'}$

$\vec{v}=\vec{v}'+\vec{u}$

$\vec{a}=\vec{a}'+\vec{a}_{O'}$

适用条件：$S'$ 相对 $S$ 做平动（无转动），且速度远小于光速（经典力学范围）。

4.2 常用表述#

• 绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度
• 雨下落、船过河、飞机在风中飞行等问题都用到此关系。

例题1：匀变速直线运动——刹车距离问题#

题目：一辆汽车以 $v_0=20\,\text{m/s}$ 的速度行驶，司机发现前方障碍物后以 $a=-5\,\text{m/s}^2$ 的加速度刹车。求： (1) 刹车后 $3\,\text{s}$ 末的速度； (2) 刹车后 $6\,\text{s}$ 内的位移。

解析：

(1) 求 $t=3\,\text{s}$ 时的速度

使用公式 $v=v_0+at$（选择此公式是因为已知 $v_0, a, t$，求 $v$，直接代入即可）

$v = 20 + (-5)\times 3 = 20-15 = 5\,\text{m/s}$

（$v>0$ 说明此时汽车仍在向前运动，尚未停止）

(2) 求 $6\,\text{s}$ 内的位移

第一步：先判断汽车何时停止（这是本题的关键陷阱——汽车刹车后不会反向运动，停止后保持静止）

设停止时刻为 $t_0$，令 $v=0$： $0 = 20 + (-5)t_0 \Rightarrow t_0 = 4\,\text{s}$

（推理：汽车在 $4\,\text{s}$ 时已停止，之后 $4\sim6\,\text{s}$ 处于静止状态，因此”6秒内的位移”实际等于”4秒内的位移”）

第二步：计算位移

使用公式 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$，代入 $t=4\,\text{s}$（而非 $6\,\text{s}$）：

$x = 20\times 4 + \frac{1}{2}\times(-5)\times 4^2 = 80 - 40 = 40\,\text{m}$

易错警示：若直接代入 $t=6\,\text{s}$，会得到 $x=20\times6+\frac{1}{2}\times(-5)\times36=120-90=30\,\text{m}$，这是错误的——因为公式 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ 假设加速度在整个过程中保持不变，但汽车停止后 $a=0$ 而非 $-5\,\text{m/s}^2$。

例题2：抛体运动——斜抛最大射程#

题目：在水平地面上，以初速度 $v_0$、抛射角 $\theta$ 斜抛一物体。求： (1) 飞行总时间； (2) 水平射程； (3) 最大射程对应的抛射角。

解析：

建立坐标系：原点为抛出点，$x$ 轴水平向前，$y$ 轴竖直向上。

运动分解：

• 水平方向：$a_x=0$，匀速运动
• 竖直方向：$a_y=-g$，匀变速运动

初速度分量： $v_{0x}=v_0\cos\theta,\quad v_{0y}=v_0\sin\theta$

(1) 飞行总时间 $T$

竖直方向：落回地面时 $y=0$ $y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$

（选择竖直方向分析，因为落地条件 $y=0$ 只在竖直方向有约束）

$t\left(v_0\sin\theta - \frac{1}{2}gt\right)=0$

解得 $t=0$（抛出时刻）或 $t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$

$\therefore T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$

(2) 水平射程 $R$

水平方向匀速：$x=v_{0x}t$ $R = v_0\cos\theta \times T = v_0\cos\theta \times \frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$

（利用三角恒等式 $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ 化简）

(3) 最大射程条件

$R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$，当 $\sin(2\theta)=1$ 时 $R$ 最大

$2\theta = 90^\circ \Rightarrow \theta = 45^\circ$

$\therefore R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$

结论：在水平地面上，以 $45^\circ$ 角斜抛时射程最大。若抛出点与落地点不在同一高度，结论会不同。

例题3：圆周运动——变速率圆周运动#

题目：一质点沿半径 $R=2\,\text{m}$ 的圆周运动，其速率随时间变化规律为 $v=3t^2$（SI单位）。求 $t=1\,\text{s}$ 时： (1) 切向加速度 $a_\tau$； (2) 法向加速度 $a_n$； (3) 总加速度的大小和方向。

解析：

(1) 切向加速度

$a_\tau = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t$

（切向加速度是速率对时间的导数，直接求导即可）

$t=1\,\text{s}$ 时：$a_\tau = 6\times 1 = 6\,\text{m/s}^2$

(2) 法向加速度

先求 $t=1\,\text{s}$ 时的速率：$v=3\times 1^2=3\,\text{m/s}$

$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\,\text{m/s}^2$

（法向加速度只与瞬时速率和曲率半径有关，与速率是否变化无关）

(3) 总加速度

大小： $a = \sqrt{a_\tau^2+a_n^2} = \sqrt{6^2+4.5^2} = \sqrt{36+20.25} = \sqrt{56.25} = 7.5\,\text{m/s}^2$

方向：设总加速度与切向的夹角为 $\varphi$ $\tan\varphi = \frac{a_n}{a_\tau} = \frac{4.5}{6} = 0.75$

$\varphi = \arctan(0.75) \approx 36.9^\circ$

（总加速度指向轨迹凹侧，偏向法线方向）

例题4：相对运动——船渡河问题#

题目：河宽 $d=500\,\text{m}$，水流速度 $u=3\,\text{m/s}$（沿河岸方向）。船在静水中的速度 $v'=4\,\text{m/s}$。求： (1) 船头垂直河岸时，船的实际速度和渡河时间； (2) 船要以最短时间渡河，船头应指向何方？最短时间是多少？ (3) 船要以最短位移渡河，船头应指向何方？

解析：

设河岸为 $S$ 系，水流为 $S'$ 系。由伽利略速度变换：$\vec{v}=\vec{v}'+\vec{u}$

(1) 船头垂直河岸

• $\vec{v}'$：垂直河岸，大小 $4\,\text{m/s}$
• $\vec{u}$：沿河岸，大小 $3\,\text{m/s}$

实际速度： $v = \sqrt{v'^2+u^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5\,\text{m/s}$

方向：与河岸夹角 $\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53.1^\circ$（偏向上游…不对，垂直河岸时船头直指对岸，水流把它往下冲，所以是偏向下游）

（修正：船头垂直河岸，即 $\vec{v}'$ 垂直河岸，$\vec{u}$ 沿河岸向下游，合速度偏向下游）

渡河时间：只有垂直河岸的分速度决定渡河时间 $t = \frac{d}{v'} = \frac{500}{4} = 125\,\text{s}$

（沿河岸方向的分速度不影响渡河时间，只影响登陆点位置）

(2) 最短时间渡河

要使时间最短，需使垂直河岸的分速度最大。由于 $v'$ 大小固定，当船头垂直指向河岸时，垂直分速度最大为 $v'$。

$\therefore t_{\min} = \frac{d}{v'} = \frac{500}{4} = 125\,\text{s}$

（与(1)相同，因为(1)恰好就是船头垂直河岸的情况）

(3) 最短位移渡河

最短位移为河宽 $d=500\,\text{m}$（垂直横渡），要求合速度 $\vec{v}$ 垂直河岸。

由 $\vec{v}=\vec{v}'+\vec{u}$，要使 $\vec{v}$ 垂直河岸，需 $\vec{v}'$ 的水平分量抵消 $\vec{u}$。

设船头与垂直河岸方向夹角为 $\alpha$（偏向上游）： $v'\sin\alpha = u$

$\sin\alpha = \frac{u}{v'} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\alpha = \arcsin(0.75) \approx 48.6^\circ$

即船头应偏向上游，与垂直河岸方向成约 $48.6^\circ$ 角。

此时实际速度（垂直河岸）： $v = v'\cos\alpha = 4\times\cos(48.6^\circ) = 4\times\sqrt{1-0.75^2} = 4\times\frac{\sqrt{7}}{4} = \sqrt{7}\approx 2.65\,\text{m/s}$

渡河时间： $t = \frac{d}{v} = \frac{500}{\sqrt{7}} \approx 189\,\text{s}$

对比：最短位移渡河（$189\,\text{s}$）比最短时间渡河（$125\,\text{s}$）耗时更长，这是”路程短”与”时间短”之间的权衡。