习题9-1

第 (1) 题：$z = \ln(y^2 - 2x + 1)$#

分析： 函数为对数函数，要求真数严格大于零。

约束条件： $y^2 - 2x + 1 > 0$

即： $y^2 > 2x - 1$

定义域： $D = \{(x, y) \mid y^2 - 2x + 1 > 0\} = \{(x, y) \mid y^2 > 2x - 1\}$

几何意义： 抛物线 $y^2 = 2x - 1$（开口向右，顶点在 $(\frac{1}{2}, 0)$）外部区域（不含抛物线本身）。抛物线将平面分成两部分，定义域是包含 $y$ 轴的那一侧区域。

第 (2) 题：$z = \frac{1}{\sqrt{x+y}} + \frac{1}{\sqrt{x-y}}$#

分析： 两项均为 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 型，要求根号内严格大于零（同时满足分母不为零和根号内非负）。

约束条件： $\begin{cases} x + y > 0 \\ x - y > 0 \end{cases}$

即： $\begin{cases} y > -x \\ y < x \end{cases}$

合并得： $-x < y < x \quad \text{或等价地} \quad x > |y|$ 问题解答1 定义域： $D = \{(x, y) \mid x + y > 0 \text{ 且 } x - y > 0\} = \{(x, y) \mid x > |y|\}$

几何意义： 两条直线 $y = -x$ 和 $y = x$ 所夹的角形区域（包含 $x$ 轴正方向的那个无限长角），不包含边界。

第 (3) 题：$z = \sqrt{x - \sqrt{y}}$#

分析： 外层根号要求 $x - \sqrt{y} \geq 0$；内层根号要求 $y \geq 0$。注意从内到外逐层分析。

约束条件： $\begin{cases} y \geq 0 & \text{（内层根号）} \\ x - \sqrt{y} \geq 0 & \text{（外层根号）} \end{cases}$

由第二个不等式： $x \geq \sqrt{y}$

由于 $\sqrt{y} \geq 0$，所以 $x \geq 0$ 自动满足。

定义域： $D = \{(x, y) \mid y \geq 0 \text{ 且 } x \geq \sqrt{y}\} = \{(x, y) \mid y \geq 0, x^2 \geq y, x \geq 0\}$

（注：当 $x \geq \sqrt{y}$ 时，两边平方得 $x^2 \geq y$，且 $x \geq 0$）

几何意义： 第一象限（含边界）中，抛物线 $y = x^2$（开口向上）下方且在 $x \geq 0$ 一侧的区域。等价于第一象限中抛物线 $x = \sqrt{y}$（即 $y = x^2$）右侧上方的区域。

第 (4) 题：$z = \ln(y - x) + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$#

分析： 函数由三部分组成，需同时满足：

• $\ln(y-x)$：真数 $> 0$
• $\sqrt{x}$：被开方数 $\geq 0$
• $\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$：根号内 $> 0$（分母要求严格大于零）

约束条件： $\begin{cases} y - x > 0 & \text{（对数真数）} \\ x \geq 0 & \text{（分子根号）} \\ 1 - x^2 - y^2 > 0 & \text{（分母根号）} \end{cases}$

即： $\begin{cases} y > x \\ x \geq 0 \\ x^2 + y^2 < 1 \end{cases}$

定义域： $D = \{(x, y) \mid y > x,\ x \geq 0,\ x^2 + y^2 < 1\}$

几何意义： 单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 内部（不含边界），且位于第一象限（$x \geq 0$），同时又在直线 $y = x$ 上方（不含直线）的区域。这是一个扇形区域，夹在直线 $y = x$ 与 $y$ 轴之间，且在单位圆内。

第 (5) 题：$u = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2 - z^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 - r^2}} \quad (R > r > 0)$#

分析： 这是三元函数，两部分分别要求：

• $\sqrt{R^2 - x^2 - y^2 - z^2}$：被开方数 $\geq 0$
• $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 - r^2}}$：根号内 $> 0$（分母要求严格大于零）

约束条件： $\begin{cases} R^2 - x^2 - y^2 - z^2 \geq 0 \\ x^2 + y^2 + z^2 - r^2 > 0 \end{cases}$

即： $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 \\ x^2 + y^2 + z^2 > r^2 \end{cases}$

合并得： $r^2 < x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$

定义域： $D = \{(x, y, z) \mid r^2 < x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2\}$

几何意义： 以原点为中心，内半径为 $r$、外半径为 $R$ 的球壳（球层）区域。包含外球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，但不包含内球面 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$（因为分母不能为零）。条件 $R > r > 0$ 保证这是一个有效的空心球壳。

第 (6) 题：$u = \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}$#

分析： 反余弦函数要求参数满足 $|\text{参数}| \leq 1$；同时分母 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 要求 $x^2 + y^2 > 0$（不能为零）。

约束条件： $\begin{cases} \left|\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right| \leq 1 \\ x^2 + y^2 > 0 \end{cases}$

由第一个不等式： $|z| \leq \sqrt{x^2 + y^2}$

两边平方（两边均非负）： $z^2 \leq x^2 + y^2$

即： $x^2 + y^2 - z^2 \geq 0 \quad \text{或} \quad x^2 + y^2 \geq z^2$

定义域： $D = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 \geq z^2,\ x^2 + y^2 > 0\}$

几何意义： 圆锥面 $z^2 = x^2 + y^2$（半顶角为 $45^\circ$）外部及表面上的区域，但不包含原点（因为分母为零）。这是一个以原点为顶点、$z$ 轴为轴的双圆锥所围区域的外部，包含圆锥面本身。

总结对比表#

以下是6道多元函数极限题的详细解析：

第 (1) 题#

$\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{1-xy}{x^2+y^2}$

分析： 判断函数在点 $(0,1)$ 处是否连续。分母 $x^2+y^2$ 在 $(0,1)$ 处的值为 $0^2+1^2=1\neq 0$，分子为初等函数，因此该函数在 $(0,1)$ 处连续，可直接代入。

求解： $\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{1-xy}{x^2+y^2}=\frac{1-0\times 1}{0^2+1^2}=\frac{1}{1}=1$

答案： $\boxed{1}$

第 (2) 题#

$\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{\ln(x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$

分析： 分母 $\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $(1,0)$ 处的值为 $\sqrt{1+0}=1\neq 0$，分子 $\ln(x+e^y)$ 为初等函数，整体在 $(1,0)$ 处连续，直接代入。

求解： $\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{\ln(x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\ln(1+e^0)}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{\ln 2}{1}=\ln 2$

答案： $\boxed{\ln 2}$

第 (3) 题#

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}$

分析： 代入 $(0,0)$ 得 $\frac{2-\sqrt{4}}{0}=\frac{0}{0}$，为 $\frac{0}{0}$ 型。采用分子有理化消去零因子。

求解： 分子分母同乘 $2+\sqrt{xy+4}$：