题（6）详细推导过程

第一步：两边取自然对数#

$\ln z = \ln\left[(1+xy)^y\right] = y\ln(1+xy)$

第二步：两边对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数）#

左边（隐函数求导）： $\frac{\partial}{\partial y}(\ln z) = \frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}$

右边（乘积法则：$y$ 与 $\ln(1+xy)$ 相乘）： $\frac{\partial}{\partial y}\left[y\ln(1+xy)\right] = 1\cdot\ln(1+xy) + y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln(1+xy)\right]$

其中： $\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln(1+xy)\right] = \frac{1}{1+xy}\cdot x = \frac{x}{1+xy}$

所以右边整体为： $\ln(1+xy) + y\cdot\frac{x}{1+xy} = \ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}$

第三步：整理求解 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$#

$\frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y} = \ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}$

两边同乘 $z$： $\frac{\partial z}{\partial y} = z\left[\ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}\right]$

将 $z=(1+xy)^y$ 代回：

$\boxed{\frac{\partial z}{\partial y} = (1+xy)^y\left[\ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy}\right]}$