第（7）题详解

一、函数类型判断#

$u = x^{\frac{y}{z}}$ 是幂指函数（底数和指数都含变量），且是三元函数（变量为 $x, y, z$）。

统一采用对数求导法，先取对数： $\ln u = \frac{y}{z}\ln x$

二、对 $x$ 求偏导数 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$#

思路：视 $y, z$ 为常数，则 $\dfrac{y}{z}$ 是常数，函数变为幂函数 $u = x^{\text{常数}}$。

三、对 $y$ 求偏导数 $\dfrac{\partial u}{\partial y}$#

思路：视 $x, z$ 为常数，则 $x$ 是常数底数，指数 $\dfrac{y}{z}$ 含 $y$，函数变为指数函数 $u = a^{\frac{y}{z}}$（$a=x$ 为常数）。

对 $\ln u = \dfrac{y}{z}\ln x$ 两边对 $y$ 求偏导：

左边： $\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$

右边（视 $x,z$ 为常数）： $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{z}\ln x\right) = \frac{1}{z}\ln x$

联立： $\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\ln x}{z}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = u\cdot\frac{\ln x}{z} = x^{\frac{y}{z}}\cdot\frac{\ln x}{z}$

$\boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\ln x}{z}\,x^{\frac{y}{z}}}$

四、对 $z$ 求偏导数 $\dfrac{\partial u}{\partial z}$#

思路：视 $x, y$ 为常数，指数 $\dfrac{y}{z} = yz^{-1}$ 含 $z$。

对 $\ln u = \dfrac{y}{z}\ln x$ 两边对 $z$ 求偏导：

左边： $\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial z}$

右边（视 $x,y$ 为常数，注意 $z$ 在分母）： $\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{y}{z}\ln x\right) = y\ln x\cdot\frac{\partial}{\partial z}\left(z^{-1}\right) = y\ln x\cdot(-1)z^{-2} = -\frac{y\ln x}{z^2}$

联立： $\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{y\ln x}{z^2}$

$\frac{\partial u}{\partial z} = u\cdot\left(-\frac{y\ln x}{z^2}\right) = -x^{\frac{y}{z}}\cdot\frac{y\ln x}{z^2}$

$\boxed{\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{y\ln x}{z^2}\,x^{\frac{y}{z}}}$

五、结果汇总#

六、关键要点#

统一技巧：遇到 $u = x^{\frac{y}{z}}$ 这类幂指函数，先取对数 $\ln u = \frac{y}{z}\ln x$，再对各自变量求偏导，是最稳妥的方法。