笔记--复合函数求导（链式法则）

原理：链式法则#

设 $z = z(x,y)$，即 $z$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数。

那么 $\ln z$ 可以看作两层复合：

• 外层：$f(u) = \ln u$
• 内层：$u = z(x,y)$

根据链式法则：笔记—复合函数求导（链式法则） $\frac{\partial}{\partial y}(\ln z) = \frac{df}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{u} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$

通俗理解#

$\ln z$ 对 $y$ 求导时，$z$ 不是常数，而是随 $y$ 变化的量。所以：

1. 先对”外壳” $\ln(\quad)$ 求导 → 得到 $\dfrac{1}{z}$
2. 再对”内核” $z$ 对 $y$ 求导 → 得到 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$
3. 两者相乘

$\frac{\partial}{\partial y}(\ln z) = \underbrace{\frac{1}{z}}_{\text{外层导数}} \cdot \underbrace{\frac{\partial z}{\partial y}}_{\text{内层导数}}$

类比：一元函数的情形#

若 $y = \ln[f(x)]$，则： $y' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$

这是完全相同的链式法则，只是把一元导数 $f'(x)$ 换成了偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

关键提醒#

$\frac{\partial}{\partial y}(\ln z) \neq \frac{1}{y} \quad \text{（错误！）}$

也不能把 $z$ 当作常数直接忽略。只要 $z$ 依赖于 $y$，就必须乘上 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$。